地球の質量と平均密度

問題

地球の質量と平均密度を万有引力の法則を用いて見積もるとする。
地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の重力加速度を$g$、万有引力定数を$G$として
以下の問いに答えよ。
(1) 地球の質量$M_\mathrm{E}$を表せ。
(2) 地球の平均密度$\rho$を表せ。

さらに$R_\mathrm{E}=6.38\times10^6$[$\mathrm{m}$], $g=9.80$[$\mathrm{m/s^2}$],
$G=6.67\times10^{-11}$[$\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$]として
(3) 地球の質量$M_\mathrm{E}$を計算せよ。
(4) 地球の平均密度$\rho_\mathrm{E}$を計算せよ。


解答

(1) 質量$m$の物体と地球との間に作用する力$F$は万有引力の法則により
\begin{align*}
F=G\frac{M_\mathrm{E}\cdot m}{R_\mathrm{E}^2}=\frac{GM_\mathrm{E}}{R_\mathrm{E}^2}\cdot m
\end{align*}
と表される。
一方、重力$f_g=mg$と表せることから
\begin{align*}
g=\frac{GM_\mathrm{E}}{R_\mathrm{E}^2}
\end{align*}
と表される。
従って、
\begin{align*}
M_\mathrm{E}=\frac{gR_\mathrm{E}^2}{G}
\end{align*}
となる。

(2) 密度の定義$\rho=\frac{M}{V}より$
\begin{align*}
\rho_\mathrm{E}&=\frac{M_\mathrm{E}}{V_\mathrm{E}}\\
&=\frac{\frac{gR_\mathrm{E}^2}{G}}{\frac{4}{3}\pi R_\mathrm{E}^3}\\
&=\frac{3}{4}\frac{\frac{g}{G}}{\pi R_\mathrm{E}}\\
&=\frac{3g}{4\pi R_\mathrm{E}G}
\end{align*}

となる。

(3)
\begin{align*}
M_\mathrm{E}&=\frac{9.80\mathrm{[m/s^2]}\times(6.38\times10^6[\mathrm{m}])^2}{6.67\times10^{-11}[\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}]}\\
&=5.980\times10^{24} \ [\mathrm{kg}]\\
&\simeq5.98\times10^{24} \ [\mathrm{kg}]
\end{align*}

(4)
\begin{align*}
\rho_\mathrm{E}&=\frac{3g}{4\pi R_\mathrm{E}G}\\
&=\frac{3\times9.80\mathrm{[m/s^2]}}{4\pi \times6.38\times10^6[\mathrm{m}]\times6.67\times10^{-11}[\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}]}\\
&=5497 \ [\mathrm{kg/m^3}]\\
&\simeq5.50 \times 10^3 \ [\mathrm{kg/m^3}]
\end{align*}
(与えられた有効数字に合わせる)

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