ガンマ関数

問題

ガンマ関数$\Gamma (z)$は

\begin{eqnarray*}
\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x
\end{eqnarray*}

で定義される。
以下の問いに答えよ。

(1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。

(2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。

(3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。

(4) $n$を自然数として$\Gamma (n+1)$を求めよ。

解答

(1)

\begin{eqnarray*}
\Gamma (1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{1-1} \diff x \\
\\
&=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} \diff x \\
\\
&=& \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{\infty} \\
\\
&=& -e^{-\infty}-(-e^{- \cdot 0}) \\
\\
&=& 1
\end{eqnarray*}

(2)

\begin{eqnarray*}
\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\frac{1}{2}-1} \diff x \\
\end{eqnarray*}

ここで、$\displaystyle x^{\frac{1}{2}}=t$とおくと

\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff x} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) &=& \frac{\diff t}{\diff x} \\
\\
\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} &=& \frac{\diff t}{\diff x} \\
\\
\diff x &=& \frac{\diff t}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\
\\
\diff x &=& 2 x^{\frac{1}{2}} \diff t \\
\\
\diff x &=& 2t \diff t
\end{eqnarray*}

であるから
\begin{eqnarray*}
\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\frac{1}{2}-1} \diff x \\
\\
&=& \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} \cdot \frac{1}{t} \cdot 2t \diff t \\
\\
&=& 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} \diff t \\
\\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \diff t \quad (\text{ガウス積分}) \\
\\
&=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray*}
となる。

(3)
\begin{eqnarray*}
\Gamma (z+1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{(z+1)-1} \diff x \\
\\
&=& \int_{0}^{\infty} x^{z} e^{-x} \diff x \\
\\
&=& \left[ x^z (-e^{-x} ) \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} z x^{z-1} e^{-x} \diff x \\
\\
&=& z \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \\
\\
&=& z \Gamma (z)
\end{eqnarray*}

(4)

\begin{eqnarray*}
\Gamma (n+1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n} \diff x = n \Gamma (n) \\
\end{eqnarray*}

であるから、自然数$n$に対して

\begin{eqnarray*}
\Gamma (n+1) &=& n \Gamma (n) \\
\\
\Gamma (n) &=& (n-1) \Gamma (n-1) \\
\\
\Gamma (n-1) &=& (n-2) \Gamma (n-2) \\
\\
& \vdots & \\
\\
\Gamma (2) &=& \Gamma (1) \\
\\
\Gamma (1) &=& 1 \\
\end{eqnarray*}

が成り立つ。
従って、

\begin{eqnarray*}
\Gamma (n+1) &=& n \Gamma (n) \\
\\
&=& n (n-1) \Gamma (n-1) \\
\\
&=& n (n-1) (n-2) \Gamma (n-2) \\
\\
&=& n (n-1) (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \Gamma(1) \\
\\
&=& n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1\\
\\
&=& n! \\
\end{eqnarray*}
となる。