ド・モアブルの定理の導出
問題
オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理
\begin{eqnarray*}
\cos nx + i \sin nx = (\cos x +i\sin x)^n
\end{eqnarray*}
を導出せよ。
解答
$e^{inx}$を考えると、
\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& (e^{ix})^n \\
\\
&=& (\cos x +i\sin x)^n \\
\end{eqnarray*}
となる。
一方
\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& e^{i(nx)} \\
\\
&=& \cos nx +i\sin nx \\
\end{eqnarray*}
となる。
従って
\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& \cos nx +i\sin nx = (\cos x +i\sin x)^n \\
\end{eqnarray*}
が得られる。
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