オイラーの公式と加法定理

問題

(1) オイラーの公式
\begin{align*}
e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{align*}
を示せ。

(2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。

解答

(1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、
\begin{align*}
e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac{(ix)^7}{7!}+\cdots\\
&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{-x^2}{2!}+\frac{-ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}+\frac{-x^6}{6!}+\frac{-ix^7}{7!}+\cdots\\
&=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)\\
&=\cos x+i\sin x
\end{align*}
となる。

(2) $e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}$の両辺にオイラーの公式を用いる。
\begin{align*}
\begin{cases}
e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha\\
e^{i\beta}=\cos\beta+i\sin\beta
\end{cases}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}&=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\
&=\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha i\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta+i\sin\alpha i\sin\beta\\
&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)
\end{align*}
となる。
従って
\begin{align*}
e^{i(\alpha+\beta)}&=e^{i\alpha}e^{i\beta}\\
\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)
\end{align*}
となり、実部と虚部を比較すると
\begin{align*}
\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}
となる。
同様に$\beta$を$-\beta$と置き換えて考えると
\begin{align*}
\cos(\alpha-\beta)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}
となる。