問題
単振動の微分方程式
\begin{align*}
m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx
\end{align*}
の解を$x(t)=Ce^{\lambda t}$とおいて解け。
但し、$C,\lambda$は定数とする。
解答
$\omega^2=\frac{k}{m}$とおくと、
\begin{align*}
\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x
\end{align*}
となる。
解である$x(t)=Ce^{\lambda t}$において
\begin{align*}
\frac{\diff x(t)}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\left(Ce^{\lambda t}\right)\\
&=C\lambda e^{\lambda t}\\
\frac{\diff^2 x(t)}{\diff t^2}&=\frac{\diff}{\diff t}\left(C\lambda e^{\lambda t}\right)\\
&=C\lambda\lambda e^{\lambda t}\\
&=\lambda^2C e^{\lambda t}\\
&=\lambda^2x(t)
\end{align*}
となるので、この$x(t)$が解となるためには
\begin{align*}
\lambda^2=-\omega^2
\end{align*}
が必要である。
よって
\begin{align*}
\lambda=\pm i\omega
\end{align*}
となり、
\begin{align*}
x_+(t)&=C_+e^{i\omega t}\\
x_-(t)&=C_-e^{-i\omega t}
\end{align*}
の2解が得られる。
従って、一般解は
\begin{align*}
x(t)&=x_+(t)+x_-(t)\\
&=C_+e^{i\omega t}+C_-e^{-i\omega t}
\end{align*}
となる。
ここでオイラーの公式
\begin{align*}
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
\end{align*}
を利用すると
\begin{align*}
x(t)&=C_+(\cos\omega t+i\sin\omega t)+C_-(\cos(-\omega t)+i\sin(-\omega t))\\
&=C_+\cos\omega t+C_+i\sin\omega t+C_-\cos(-\omega t)-C_-i\sin(-\omega t)\\
&=(C_++C_-)\cos\omega t+i(C_+-C_-)\sin\omega t\\
&=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t\\
&\mbox{但し、$C_1=(C_++C_-),C_2=i(C_+-C_-)$である。}
\end{align*}
さらに変形すると
\begin{align*}
x(t)&=A\cos(\omega t+\delta)\\
&=A\sin(\omega t+\phi)\qquad\mbox{$(\phi=\delta+\frac{\pi}{2})$}
\end{align*}
と表される。