斜面の摩擦角

問題

水平面上に置かれた粗い板があり、質量$m$の物体が置かれている。
この板を左端$O$を支点として斜面の角度を変化させたとする。
静止摩擦係数を$\mu$としたとき、摩擦角$\theta_0$を表せ。

23-1


解答

斜面に平行な軸を$x$、斜面に垂直な軸を$y$とし、
物体に作用する力を書き込むと、

23a-1

物体に作用する力は重力$mg$、抗力$R$となる。
$x$軸、$y$軸に合わせて力を分解すると、

23a-2

運動方程式は
\begin{align*}
\begin{cases}
ma_x=mg\sin\theta-f\\
ma_y=N-mg\cos\theta
\end{cases}
\end{align*}
と表すことができる。

$a_y=0, f=\mu N$より
\begin{align*}
\begin{cases}
ma_x=mg\sin\theta-\mu N\\
0=N-mg\cos\theta
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
ma_x=mg\sin\theta-\mu N\\
N=mg\cos\theta
\end{cases}
\end{align*}
となり、
\begin{align*}
ma_x=mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta
\end{align*}
となる。

ここで、物体が$x$軸方向に動くためには
\begin{align*}
ma_x=mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta>0
\end{align*}
が必要で、その限界の角度を$\theta_0$とすると、
\begin{align*}
mg\sin\theta_0-\mu mg\cos\theta_0&=0\\
\sin\theta_0&=\mu\cos\theta_0\\
\tan\theta_0&=\mu
\end{align*}
となる。
注)
厳密に言うと上式の運動方程式において摩擦係数は
動き始めた瞬間に動摩擦係数と変化することになる。

ad

関連記事

ヤングの実験

問題 ヤングの実験を考える。 図のように、平行な2つの幅の狭いスリット$\math

記事を読む

自由落下運動

問題 質量$m$の物体を自由落下させる。 以下の問いに答えよ。 但し、重力加速度は$g

記事を読む

極座標の加速度

問題 極座標の平面を考える。 加速度$\vec{a}$において$r$方向の加速度$a_r$と

記事を読む

力のモーメントの計算

問題 以下の図に力$\vec{F}$が作用した場合の力のモーメント$\vec{M}$を計算

記事を読む

単振り子のエネルギー保存

問題 質量$m$の物体が長さ$l$の糸につるされている。 この物体の単振り子運動においてエネ

記事を読む

物体が滑り出さない条件

問題 粗い水平面上に置かれた質量$m$の物体に水平と$\alpha$の角をなす方向から 力$

記事を読む

斜面を滑り下りる運動

問題 水平面をなす角$\theta$の粗い斜面上の点$\mathrm{A}$から物体を初速$v

記事を読む

万有引力と重力加速度

問題 質量を持つ2つの物体の間には万有引力が作用する。 このことから地球の重力$mg$を求め

記事を読む

射法投射と鉛直投げ上げ

問題 質量$m$の質点が初速度$v_0$で投げ出される運動を考える。 鉛直方向に投げた場合の

記事を読む

接触した物体の運動

問題 滑らかな水平面上に2つの物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が接触して

記事を読む

ad

Message

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑