一様に帯電した球が作る電場

問題

一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。

(1) この球の中心からの距離$r \ (\ge R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。

(2) この球の中心からの距離$r \ (\le R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。

(3) 球の内外につくる静電場を距離$r$の関数としてグラフを書け。

解答

(1)
$r \ (\ge R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。

このとき、閉曲面内の電気量$Q$は

\begin{eqnarray*}
Q &=& \int_V \rho \diff V \\
\\
&=& \frac{4}{3}\pi R^3 \rho
\end{eqnarray*}

である。

よって、この円筒(閉曲面)に対するガウスの法則は

\begin{eqnarray*}
\int_S \vec{E}\cdot \vec{n} ds &=& \frac{Q}{\varepsilon_0} \\
\\
E(r) 4\pi r^2 &=& \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{4}{3}\pi R^3 \rho \\
\\
E(r) &=& \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \frac{R^3}{r^2}
\end{eqnarray*}

となる。

(2)
$r \ (\le R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。

このとき、閉曲面内の電気量$Q$は

\begin{eqnarray*}
Q &=& \int_V \rho \diff V \\
\\
&=& \frac{4}{3}\pi r^3 \rho
\end{eqnarray*}

である。

よって、この円筒(閉曲面)に対するガウスの法則は

\begin{eqnarray*}
\int_S \vec{E}\cdot \vec{n} ds &=& \frac{Q}{\varepsilon_0}\\
\\
E(r) 4\pi r^2 &=& \frac{1}{\varepsilon_0} \frac{4}{3}\pi r^3 \rho \\
\\
E(r) &=& \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} r
\end{eqnarray*}

となる。

(3)
(1),(2)を$r$の関数としてグラフにすると

となる。