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問題 滑らかな水平面上にばねと物体が図のように設置されている。 物体の質量を$m$、ばね定数を$k$とする。 この物体が単振動する時、エネルギー保存則が成立することを運動方程式から導け。 解答 物体に作用する力は ばねの復元力の大きさ$kx$のみである。 従って運動方程式は \begin{align*} m\frac{\diff v}{\diff t}=-kx \end{align*} となる。 両辺を$x$で積分すると \begin{align*} \int m\frac{\diff v}{\diff ...

問題 水平面をなす角$\theta$の粗い斜面上の点$\mathrm{A}$から物体を初速$v_0$で斜面に沿って下向きに 打ち出した。物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、動摩擦係数を$\mu_k$とする。 点$\mathrm{A}$から距離$L$だけ進んだ点$\mathrm{B}$において以下の問いに答えよ。 (1) 重力がした仕事を求めよ。 (2) 垂直抗力がした仕事を求めよ。 (3) 動摩擦力がした仕事を求めよ。 (4) 点$\mathrm{B}$における速度$v_1$を求めよ。 解答 この運動 ...

問題 理想気体の状態方程式は \begin{align*} pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)} \end{align*} と表される。 このとき \begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align* ...

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \vec A&=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec B&=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 この2つのベクトルの内積が \begin{align*} \vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \end{align*} となることを示せ。 解答 $x$軸, $y$軸, $z$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ$\vec i$, $\vec j$, $ ...

問題 次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin x$ (2) $f(x)=\cos x$ (3) $f(x)=e^x$ 解答 関数$f(x)$のマクローリン展開は \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*} で与えられる。 (1) \begin{align*} f(0)&=\sin0=0\\ f'(0)&=\cos0=1\\ f''(0)&=-\sin0= ...

問題 密度が一様でない棒の質量を考える。 この棒の線密度$\rho(x)$が \begin{align*} \rho(x)=\rho_0+\rho_1x \end{align*} で表され、全長が$l$のときこの棒の質量を求めよ。 解答 図に表すと となる。 微笑部分の質量$\diff M$は \begin{align*} \diff M=\rho(x)\diff x \end{align*} と表せる。 よって全質量$M$は \begin{align*} M&=\int_{0}^{l}\rho(x)\d ...

問題 半径$r$の円がある。その半径を微笑量$\diff r$ $(\diff r\ll r)$だけ変化させたとき、 円の面積の変化$\diff S$はどれだけになるか計算せよ。 解答 円の面積$S$は \begin{align*} S=\pi r^2 \end{align*} である。 $r$が$\diff r$だけ変化したときのSの変化$\diff S$は \begin{align*} \diff S&=\frac{\diff S}{\diff r}\cdot\diff r\\ &=\frac{\di ...

問題 風船に空気を入れ、膨らませる場合の変化について考える。 風船に毎秒$v_0$の割合で吹きこむとする。 $t=0$で半径$r$は$0$であるとし、スタートした瞬間から半径$r$の球となって 膨らむものとする。 半径の増加率$\dfrac{\diff r}{\diff t}$を求めよ。 解答 時刻$t$のとき$v_0t$の空気が入っているので、その半径を$r$とすると \begin{align*} \frac{4\pi}{3}r^3=v_0t \end{align*} である。 よって半径$r$について ...

問題 質点が原点を中心に半径$r$、角速度$\omega$の等速円運動を行っている。 この運動の加速度ベクトルは \begin{align*} \vec{a}=-\omega^2\vec r \end{align*} と表されることを示せ。 解答 作図をすると ある時刻$t$における角度を$\theta$とすると \begin{align*} \theta=\omega t+\alpha \qquad（\alpha \mbox{はある定数）} \end{align*} と表される。 位置$x$, $y$は ...

問題 ヤングの実験を考える。 図のように、平行な2つの幅の狭いスリット$\mathrm{S}_1$, $\mathrm{S}_2$に垂直に光を当てると、 スリットに平行なスクリーン上に明暗の干渉縞が映し出される。 2つのスリットの間隔を$2d$、スクリーンとスリットの距離を$l$とする。 スリットの中点を$\mathrm{M}$、点$\mathrm{M}$からスクリーンへ垂線$\mathrm{M}\mathrm{O}$を引き、 スクリーン上の点$\mathrm{O}$を原点とする。 スクリーン上の位置$x ...