円の面積変化を考える

問題

半径$r$の円がある。その半径を微笑量$\diff r$ $(\diff r\ll r)$だけ変化させたとき、
円の面積の変化$\diff S$はどれだけになるか計算せよ。

解答

円の面積$S$は
\begin{align*}
S=\pi r^2
\end{align*}
である。
$r$が$\diff r$だけ変化したときのSの変化$\diff S$は
\begin{align*}
\diff S&=\frac{\diff S}{\diff r}\cdot\diff r\\
&=\frac{\diff}{\diff r}(\pi r^2)\diff r\\
&=2\pi r\cdot\diff r
\end{align*}
となる。

別解
$\diff r$だけ変化したときの面積を$S(r+\diff r)$とすると
\begin{align*}
S(r+\diff r)=\pi(r+\diff r)^2
\end{align*}
と表すことができる。
$\diff r\ll r$より$(1+\dfrac{\diff r}{r})^2\approx+2\cdot\dfrac{\diff r}{r}$を利用すると
\begin{align*}
S(r+\diff r)&=\pi(r+\diff r)^2\\
&=\pi\left\{r\left(1+\frac{\diff r}{r}\right)\right\}^2\\
&=\pi r^2\left(1+2\frac{\diff r}{r}\right)\\
&=\pi r^2+2\pi r\diff r
\end{align*}
となる。
従って面積の変化$\diff S$は
\begin{align*}
\diff S&=S(r+\diff r)-S(r)\\
&=\pi r^2+2\pi r\diff r-\pi r^2\\
&=2\pi r\diff r
\end{align*}
となる。