球の変化率を考える

問題

風船に空気を入れ、膨らませる場合の変化について考える。
風船に毎秒$v_0$の割合で吹きこむとする。
$t=0$で半径$r$は$0$であるとし、スタートした瞬間から半径$r$の球となって
膨らむものとする。

半径の増加率$\dfrac{\diff r}{\diff t}$を求めよ。

解答

時刻$t$のとき$v_0t$の空気が入っているので、その半径を$r$とすると
\begin{align*}
\frac{4\pi}{3}r^3=v_0t
\end{align*}
である。
よって半径$r$について
\begin{align*}
r^3&=\frac{3}{4\pi}v_0t\\
&=\frac{3v_0}{4\pi}t\\
r&=\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t^{\frac{1}{3}}
\end{align*}
となる。
よって$t$で微分をすると
\begin{align*}
\frac{\diff r}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\left[\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t^{\frac{1}{3}}\right]\\
&=\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{\diff}{\diff t}t^{\frac{1}{3}}\\
&=\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{3}t^{-\frac{2}{3}}\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t^{-\frac{2}{3}}
\end{align*}
となる。
$t=\dfrac{4}{3}\pi r^3\cdot\dfrac{1}{v_0}$を代入して$r$で表すと
\begin{align*}
\frac{\diff r}{\diff t}&=\frac{1}{3}\left(\frac{3v_0}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}t^{-\frac{2}{3}}\\
&=\frac{1}{3}\left[\frac{3v_0}{4\pi}\left(\frac{3v_0}{4\pi r^3}\right)^2\right]^{\frac{1}{3}}\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{3^3v_0^3}{4^3\pi^3r^6}\right)^{\frac{1}{3}}\\
&=\frac{1}{3}\frac{3v_0}{4\pi r^2}\\
&=\frac{v_0}{4\pi r^2}
\end{align*}
となる。