マクローリン展開の計算

問題

次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。

(1) $f(x)=\sin x$

(2) $f(x)=\cos x$

(3) $f(x)=e^x$


解答

関数$f(x)$のマクローリン展開は
\begin{align*}
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n
\end{align*}
で与えられる。

(1) \begin{align*}
f(0)&=\sin0=0\\
f'(0)&=\cos0=1\\
f”(0)&=-\sin0=0\\
f”'(0)&=-\cos0=-1
\end{align*}
よって
\begin{align*}
f(x)=\sin x&=0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-1}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5\cdots\\
&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots
\end{align*}
となる。

(2) \begin{align*}
f(0)&=\cos0=1\\
f'(0)&=-\sin0=0\\
f”(0)&=-\cos0=-1\\
f”'(0)&=\sin0=0
\end{align*}
よって
\begin{align*}
f(x)=\cos x&=1+\frac{0}{1!}x+\frac{-1}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{0}{5!}x^5\cdots\\
&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots
\end{align*}
となる。

(3) \begin{align*}
f(0)&=e^0=1\\
f'(0)&=e^0=1\\
f”(0)&=e^0=1
\end{align*}
よって
\begin{align*}
f(x)=e^x&=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\\
&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots
\end{align*}
となる。

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