密度が一様でない棒の質量

公開日: : 微分・積分, 物理数学 , ,

問題

密度が一様でない棒の質量を考える。
この棒の線密度$\rho(x)$が
\begin{align*}
\rho(x)=\rho_0+\rho_1x
\end{align*}
で表され、全長が$l$のときこの棒の質量を求めよ。


解答

図に表すと
15a-1

となる。
微笑部分の質量$\diff M$は
\begin{align*}
\diff M=\rho(x)\diff x
\end{align*}
と表せる。
よって全質量$M$は
\begin{align*}
M&=\int_{0}^{l}\rho(x)\diff x\\
&=\int_{0}^{l}(\rho_0+\rho_1x)\diff x\\
&=\left[\rho_0x+\frac{1}{2}\rho_1x^2\right]_{0}^{l}\\
&=\rho_0l+\frac{1}{2}\rho_1l^2
\end{align*}
となる。

ad

関連記事

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamm

記事を読む

円の面積変化を考える

問題 半径$r$の円がある。その半径を微笑量$\diff r$ $(\diff r\ll r)

記事を読む

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\displaystyle \left( \f

記事を読む

オイラーの公式と加法定理

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i

記事を読む

ド・モアブルの定理の導出

問題 オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理

記事を読む

ベクトルの内積

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{a

記事を読む

マクローリン展開の計算

問題 次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin

記事を読む

球の変化率を考える

問題 風船に空気を入れ、膨らませる場合の変化について考える。 風船に毎秒$v_

記事を読む

ベクトルの微分

問題 次の式を証明せよ。ただし$\phi$はスカラーとする。 (1) $\frac{\d

記事を読む

ベクトルの外積

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \v

記事を読む

ad

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑