等速円運動の加速度

公開日: : 力学, 物理学 , , , ,

問題

質点が原点を中心に半径$r$、角速度$\omega$の等速円運動を行っている。
この運動の加速度ベクトルは
\begin{align*}
\vec{a}=-\omega^2\vec r
\end{align*}
と表されることを示せ。


解答

作図をすると

12a-1

ある時刻$t$における角度を$\theta$とすると
\begin{align*}
\theta=\omega t+\alpha \qquad(\alpha \mbox{はある定数)}
\end{align*}
と表される。
位置$x$, $y$は
\begin{align*}
\begin{cases}
x=r\cos\theta&=r\cos(\omega t+\alpha)\\
y=r\sin\theta&=r\sin(\omega t+\alpha)
\end{cases}
\end{align*}
となる。
これを$t$で微分して$v_x$, $v_y$を求めると
\begin{align*}
v_x=\frac{\diff x}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\Big[r\cos(\omega t+\alpha)\Big]\\
&=-r\omega\sin(\omega t+\alpha)\\
&=-r\omega y\\
&\\
v_y=\frac{\diff y}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\Big[r\sin(\omega t+\alpha)\Big]\\
&=-r\omega\cos(\omega t+\alpha)\\
&=r\omega x
\end{align*}
となる。
さらに$t$で微分して$a_x$, $a_y$を求めると
\begin{align*}
a_x=\frac{\diff v_x}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\Big[-r\omega\sin(\omega t+\alpha)\Big]\\
&=-r\omega^2\cos(\omega t+\alpha)\\
&=-\omega^2x\\
&\\
a_y=\frac{\diff v_y}{\diff t}&=\frac{\diff}{\diff t}\Big[-r\omega\cos(\omega t+\alpha)\Big]\\
&=-r\omega^2\sin(\omega t+\alpha)\\
&=-\omega^2y
\end{align*}
となる
よって加速度ベクトル$\vec a$は
\begin{align*}
\vec a=
\begin{pmatrix}
a_x\\
a_y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\omega^2x\\
-\omega^2y
\end{pmatrix}
&=-\omega^2
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
\\
&=-\omega^2\vec r
\end{align*}
となる。

ad

関連記事

射法投射と鉛直投げ上げ

問題 質量$m$の質点が初速度$v_0$で投げ出される運動を考える。 鉛直方向に投げた場合の

記事を読む

固定された滑車の運動

問題 天井に固定された滑車に2つの物体がひもでつながれて運動している。 物体の質量をそれぞれ

記事を読む

ヤングの実験

問題 ヤングの実験を考える。 図のように、平行な2つの幅の狭いスリット$\math

記事を読む

等速円運動の位置、速度、加速度

問題 半径$r_0$、速さ$v_0$で等速円運動をしている物体について 以下の問いに答えよ。

記事を読む

2球の正面衝突

問題 2球の正面衝突を考える。 この衝突において運動量が保持することを運動方程式を用いて

記事を読む

摩擦係数の定義

問題 水平面上に質量$m$の物体が置かれている。 水平方向から力$F$を加えて動かそうとした

記事を読む

万有引力と重力加速度

問題 質量を持つ2つの物体の間には万有引力が作用する。 このことから地球の重力$mg$を求め

記事を読む

単振動のエネルギー

問題 滑らかな水平面上にばねと物体が図のように設置されている。 物体の質量を$m$、ばね定数

記事を読む

単振動の変位と速度、加速度の関係

問題 単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) =

記事を読む

自由落下運動

問題 質量$m$の物体を自由落下させる。 以下の問いに答えよ。 但し、重力加速度は$g

記事を読む

ad

Message

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑