偏微分の状態方程式への利用

問題

理想気体の状態方程式は
\begin{align*}
pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)}
\end{align*}
と表される。
このとき
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T
\end{align*}
が成り立つことを示せ。


解答

状態方程式を変形すると
\begin{align*}
V=\frac{nRT}{p}
\end{align*}
となる。
ここで
\begin{align*}
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{nRT}{p}\right)_p\\
&=\frac{nR}{p}
\end{align*}
また
\begin{align*}
\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nRT}{p}\right)_T\\
&=-\frac{nRT}{p^2}
\end{align*}
である。
よって
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nR}{p}\right)\\
&=-\frac{nR}{p^2}\\
\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial T}\left(-\frac{nRT}{p^2}\right)\\
&=-\frac{nR}{p^2}
\end{align*}
となる。
従って
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T
\end{align*}
が成立する。

ad

関連記事

ベクトルの内積

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{a

記事を読む

密度が一様でない棒の質量

問題 密度が一様でない棒の質量を考える。 この棒の線密度$\rho(x)$が

記事を読む

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamm

記事を読む

べき級数展開と近似式

問題 関数$f(x)=(1+x)^\alpha$($\alpha$は実数)について (1

記事を読む

微分方程式~自由落下

問題 質量$m$の物体を自由落下させることを考える。 鉛直下向きを正の向きにとり高さ$z$を

記事を読む

ベクトルの微分

問題 次の式を証明せよ。ただし$\phi$はスカラーとする。 (1) $\frac{\d

記事を読む

ド・モアブルの定理の導出

問題 オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理

記事を読む

オイラーの公式と加法定理

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i

記事を読む

加法定理を図で示す

加法定理を図で示す  三角関数の重要公式である「加法定理」は$\sin$と$\cos$の組み合

記事を読む

ベクトルの外積

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \v

記事を読む

ad

Message

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑