べき級数展開と近似式

問題

関数$f(x)=(1+x)^\alpha$($\alpha$は実数)について

(1) べき級数展開を求めよ。

(2) $|x|\ll$のとき、$f(x)$の$x$に関する2次の項までの近似式を求めよ。


解答

(1) 関数$f(x)$のべき級数展開は
\begin{align*}
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n
\end{align*}
で与えられる。
ここで
\begin{align*}
f(0)&=(1+0)^\alpha=1\\
f'(0)&=\alpha(1+0)^{\alpha-1}=\alpha\\
f”(0)&=\alpha(\alpha-1)(1+0)^{\alpha-2}=\alpha(\alpha-1)\\
&\ \,\vdots\\
f^{(n)}(0)&=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+0)^{\alpha-n}\\
&=\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)
\end{align*}
である。
従って、$f(x)$のべき級数展開は
\begin{align*}
f(x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n\\
&=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f”(0)x^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{n}(0)x^n+\cdots\\
&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots
\end{align*}
となる。

(2) $|x|\ll$のとき、2次の項までの近似式は
\begin{align*}
f(x)=(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2
\end{align*}
となる。

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