微分方程式~自由落下

問題

質量$m$の物体を自由落下させることを考える。
鉛直下向きを正の向きにとり高さ$z$を測ると、物体の持つ全エネルギーは
\begin{align*}
E=\frac{1}{2}mv^2-mgz
\end{align*}
と書ける。
$t=0$で$z=0$にあり、全エネルギーが保存されることを用いて
高さ$z(t)$を求めよ。
但し、$v$は速度、$g$は重力加速度を表しているとする。


解答

全エネルギー$E$を変形すると
\begin{align*}
E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\
E+mgz&=\frac{1}{2}mv^2\\
\frac{2(E+mgz)}{m}&=v^2\\
v&=\sqrt{\frac{2(E+mgz)}{m}}
\end{align*}
となる。
ここで、$t=0$で$z=0$, $\dfrac{\diff z}{\diff t}=0$であるため

\begin{align*}
E(0)=\frac{1}{2}m\cdot 0 ^2 – mg \cdot 0 =0
\end{align*}
である。
この全エネルギー$E$が保存されるので、$E=0$が常に成立する。
よって
\begin{align*}
v=\frac{\diff z}{\diff t}&=\sqrt{\frac{2(0+mgz)}{m}}\\
&=\sqrt{2gz}\\
\frac{1}{\sqrt{2gz}}\cdot\diff z&=\diff t
\end{align*}
両辺を積分して整理すると
\begin{align*}
\int_{z(0)}^{z(t)}\frac{\diff z}{\sqrt{2gz}}&=\int_{0}^{t}\diff t\\
\sqrt{\frac{2z(t)}{g}}-\sqrt{\frac{2z(0)}{g}}&=t -0 \\
\sqrt{\frac{2z(t)}{g}}&=t\\
\frac{2z(t)}{g}&=t^2\\
z(t)&=\frac{1}{2}gt^2
\end{align*}
となる。

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