微分の定義から導関数を求める

問題

ある関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は
\begin{align*}
f'(x)=\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\end{align*}
で定義される。
次の関数$f(x)$の導関数$f'(x)$を定義から計算せよ。

(1) $f(x)=2x$

(2) $f(x)=x^n$

(3) $f(x)=\sin x$

(4) $f(x)=\cos x$

解答

(1)
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2(x+\Delta x)-2x}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x+2\Delta x-2x}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}\\
\\
&=2
\end{align*}

(2)
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^n+nx^{n-1}\cdot \Delta x+(n-1)x^{n-2}\cdot \Delta x^2+(n-2)x^{n-3}\cdot \Delta x^3+\cdots+{}_n C_{n-1}x^1\cdot \Delta x^{n-1}+\Delta x^n-x^n}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{nx^{n-1}\cdot \Delta x+(n-1)x^{n-2}\cdot \Delta x^2+(n-2)x^{n-3}\cdot \Delta x^3+\cdots+{}_n C_{n-1}x^1\cdot \Delta x^{n-1}+\Delta x^n}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\left\{nx^{n-1}+(n-1)x^{n-2}\cdot \Delta x+(n-2)x^{n-3}\cdot \Delta x^2+\cdots+{}_n C_{n-1}x^1\cdot \Delta x^{n-2}+\Delta x^{n-1} \right\}\\
\\
&=nx^{n-1}
\end{align*}

(3)
\begin{align*}
&f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\
\\
&\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\\
\\
&\mbox{より}
\end{align*}
\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\cos\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2}}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos\frac{2x+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\
\\
&=\cos x\cdot 1\\
\\
&=\cos x
\end{align*}

(4)
\begin{align*}
&f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\
\\
&\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}\\
\\
&\mbox{より}
\end{align*}

\begin{align*}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-2\sin\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2}}{\Delta x}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-\sin\frac{2x+\Delta x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\
\\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\left\{-\sin\frac{2x+\Delta x}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right\}\\
\\
&=-\sin x\cdot 1\\
\\
&=-\sin x
\end{align*}

長い数式の表記は後日検討します。