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・ 等速円運動 〜 速度・加速度 半径 $r_0$ 角速度 $\displaystyle \frac{\diff \theta}{\diff t} =\omega \ (\text{一定})$ の等速円運動のモデルについて考える。 速度 $\vec{v}$ を求め、その大きさを計算せよ。 $t=0$ で $(x, y)=(r_0 , 0)$ とすると、ある時刻 $t$ での位置は \begin{eqnarray} x(t) &=& r_0 \cos \omega t\\ y(t) &=& r_0 \sin ...

・ 等速円運動〜角運動量保存 質量 $m$ の物体が半径 $r$ 速さ $v$ の等速円運動をしている。 1. この物体の回転中心まわりの角運動量 $\vec{L}$ の大きさを求めよ。 2. この運動において角運動量が保存していることを示せ。 角運動量 $\vec{L}$ は \begin{eqnarray} \vec{L} &=&\vec{r} \times m\vec{v} \\ &=& r mv \sin \frac{\pi}{2} \vec{e} \ \ (\vec{e} : \vec{r} \ ...

・ 自由落下〜エネルギー保存則 図のように上向きを正に軸を取ると、運動方程式は \begin{eqnarray} ma &=& -mg \\ \\ m \frac{\diff v}{\diff t} &=& -mg \end{eqnarray} ここで、両辺に速度 $\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$ をかけると, \begin{eqnarray} m \frac{\diff v}{\diff t} \color{blue} v &=& -mg \frac{\ ...

・ 部分積分法の証明 2つの関数$f(x),\ g(x)$について 2つの関数の積を$x$で微分すると, 合成関数の微分なので \begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff x} \left[ f(x) g(x)\right] = \frac{\diff f(x)}{\diff x} g(x) +f(x)\frac{\diff g(x)}{\diff x} \end{eqnarray} となります。 この式の両辺を$x$で積分すると, \begin{eqnarray} \int ...

・ オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\ \end{eqnarray} $I(a) = \int e^{iax} dx$ とする 1. $I(a)$ の積分を求め, $\int \cos ax\ dx ,\ \int \sin ax\ dx$を求めよ。 解答 \begin{eqnarray} I(a)=\int e^{iax} dx =\int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \\ \end{eqnarray} を利 ...

・ オイラーの公式 オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\ \end{eqnarray} 1. オイラーの公式を用いて三角関数の2倍角の公式を導け。 解答 \begin{eqnarray} (e^{ix})^2 &=& e^{2ix} \\ \end{eqnarray} を利用する。 左辺について \begin{eqnarray} (e^{ix})^2 &=& (\cos x +i \sin x)^2 \\ &=& (\cos x)^2 ...

・ 積分計算 - 無限長ソレノイド - \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{2}{a^2} \end{eqnarray} この積分は$x=a \tan \theta$と置換をして計算します。 下準備 \begin{eqnarray} x &=& a \tan \theta \\ dx &=& a \frac{1}{\cos^2 \theta} ...

・ 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動の運動方程式をを解く。 運動方程式は \begin{align*} ma &=mg-kv \\ m\frac{\diff v}{\diff t} &=mg-kv \end{align*} である。 この微分方程式を解くことにより速度$v(t)$を表すことができる。 \begin{align*} m\frac{\diff v}{\diff t} &=mg-kv \\ \frac{\diff v}{\di ...

・ 力学基礎〜運動方程式 力学基礎〜運動方程式 (1) 速度の定義　 \begin{align*} v(t)=\frac{\diff x}{\diff t} \end{align*} 速度の次元 \begin{align*} \Bigl [ \frac{L}{T} \Bigr ] \end{align*} (2) 加速度の定義　 \begin{align*} a(t)=\frac{\diff v}{\diff t} \end{align*} 加速度の次元 \begin{align*} \Biggl[ \f ...

・ 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動について 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動について 運動方程式 \begin{align*} ma=mg-kv \end{align*} と表すことができる。 速度を \begin{align*} v(t)=\frac{mg}{k} \Bigl ( 1-e^{-\frac{k}{m}t} \Bigr) \end{align*} とすると 加速度は \begin{align*} a(t)&=\frac{\diff }{\diff t} ...