・ オイラーの公式
オイラーの公式
\begin{eqnarray}
e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\
\end{eqnarray}
1. オイラーの公式を用いて三角関数の2倍角の公式を導け。
解答
\begin{eqnarray}
(e^{ix})^2 &=& e^{2ix} \\
\end{eqnarray}
を利用する。
左辺について
\begin{eqnarray}
(e^{ix})^2 &=& (\cos x +i \sin x)^2 \\
&=& (\cos x)^2 +(i\sin x)^2 +2\cos x\ i \sin x \\
&=& \cos ^2 x - \sin^2 x +i (2\cos x \sin x)
\end{eqnarray}
一方、右辺は
\begin{eqnarray}
e^{2ix} &=& \cos 2x +i \sin 2x \\
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
&\mbox{実部 :}&\ \cos 2x = \cos ^2 x- \sin ^2 x \\
&\mbox{虚部 :}&\ \sin 2x = 2\cos x \sin x
\end{eqnarray}
となる。
2. オイラーの公式を用いて三角関数の3倍角の公式を導け。
解答
\begin{eqnarray}
(e^{ix})^3 &=& e^{3ix} \\
\end{eqnarray}
を利用する。
左辺について
\begin{eqnarray}
(e^{ix})^3 &=& (\cos x +i \sin x)^3 \\
&=& (\cos x)^3 + 3(\cos x)^2 i \sin x + 3\cos x \ (i \sin x)^2 +(i\sin x)^3 \\
&=& \cos ^3 x +3\cos ^2 x \ i \sin x -3\cos x \sin^2 x - i \sin ^3 x \\
&=& \cos ^3 x - 3\cos x\sin^2 x +i (3\cos ^2 x \sin x -\sin ^3 x) \\
\end{eqnarray}
一方、右辺は
\begin{eqnarray}
e^{3ix} &=& \cos 3x +i \sin 3x \\
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
&\mbox{実部 :}&\ \cos 3x = \cos ^3 x - 3\cos x\sin^2 x \\
&\mbox{虚部 :}&\ \sin 3x = 3\cos ^2 x \sin x -\sin ^3 x
\end{eqnarray}
となる。
さらに式変形すると
\begin{eqnarray}
\cos 3x &=& \cos ^3 x - 3\cos x\ (1-\cos ^2 x) \\
&=& \cos ^3 x -3\cos x +3\cos ^3 x \\
&=& 4\cos ^3 x -3\cos x
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\sin 3x &=& 3\ (1- \sin ^2 x) \ \sin x -\sin ^3 x \\
&=& 3\sin x -3\sin ^3 x -\sin ^3 x \\
&=& 3\sin x - 4\sin ^3 x
\end{eqnarray}
となる。
3. オイラーの公式を用いて三角関数の微分の公式を導け。
解答
\begin{eqnarray}
\frac{\diff}{\diff x} (e^{ix}) =\frac{\diff}{\diff x} (\cos x +i\sin x) \\
\end{eqnarray}
を利用する。
左辺について
\begin{eqnarray}
\frac{\diff}{\diff x} (e^{ix}) &=& i e^{ix} \\
&=& i \ (\cos x + i \sin x ) \\
&=& -\sin x + i \cos x
\end{eqnarray}
一方、右辺は
\begin{eqnarray}
\frac{\diff}{\diff x} (\cos x +i\sin x) &=& \frac{\diff}{\diff x} (\cos x) +\frac{\diff}{\diff x} (i\sin x)\\
\\
&=& \frac{\diff}{\diff x} (\cos x) +i \frac{\diff}{\diff x} (\sin x)
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
&\mbox{実部 :}&\ \frac{\diff}{\diff x} (\cos x) = -\sin x \\
\\
&\mbox{虚部 :}&\ \frac{\diff}{\diff x} (\sin x) = \cos x
\end{eqnarray}
となる。
4. オイラーの公式を用いて三角関数の積分の公式を導け。
解答
\begin{eqnarray}
\int e^{ix} dx = \int (\cos x +i\sin x) dx
\end{eqnarray}
を利用する。
左辺について
\begin{eqnarray}
\int e^{ix} dx &=& \frac{1}{i} e^{ix} \\
\\
&=& \frac{1}{i} (\cos x +i\sin x) \\
\\
&~& \frac{1}{i} (\cos x +i\sin x) \times \frac{i}{i}\\
\\
&=& -i(\cos x +i\sin x)\\
\\
&=& \sin x +i \ (-\cos x )
\end{eqnarray}
一方、右辺は
\begin{eqnarray}
\int (\cos x +i\sin x) dx &=& \int \cos dx + \int (i \sin x )\ dx\\
&=& \int \cos dx +i \int \sin x \ dx\\
\end{eqnarray}
であるから
\begin{eqnarray}
&\mbox{実部 :}&\ \int \cos x = \sin x \\
\\
&\mbox{虚部 :}&\ \int \sin x = -\cos x
\end{eqnarray}
となる。
注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。