未整理-004

公開日: : 最終更新日:2019/02/05 未分類

・ 積分計算 – 無限長ソレノイド –

\begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{2}{a^2}
\end{eqnarray}

この積分は$x=a \tan \theta$と置換をして計算します。

下準備

\begin{eqnarray}
x &=& a \tan \theta \\
dx &=& a \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\
\end{eqnarray}

また、三角関数の関係式$\ \tan^2 \theta +1 = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \ $も利用します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta}
{[(a \tan \theta)^2 +a^2]^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta}
{[a^2 (\tan^2 \theta+1) ]^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta}
{\left(a^2 \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \right)^{\frac{3}{2}}}\\
& & \\
&=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta}
{\displaystyle \frac{a^3}{\cos^3 \theta}}\\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta\ d\theta \\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \Bigl[ \sin \theta \Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\
\\
&=& \frac{1}{a^2} \left[ \sin \frac{\pi}{2} -\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right]\\
\\
&=&\frac{2}{a^2}
\end{eqnarray}

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。

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