未整理-003

・ 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動

速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動の運動方程式をを解く。

運動方程式は

\begin{align*}
ma &=mg-kv \\
m\frac{\diff v}{\diff t} &=mg-kv
\end{align*}

である。
この微分方程式を解くことにより速度$v(t)$を表すことができる。

\begin{align*}
m\frac{\diff v}{\diff t} &=mg-kv \\
\frac{\diff v}{\diff t} &=g-\frac{k}{m}v \\
\frac{\diff v}{\diff t} &= \frac{k}{m} \Bigl( \frac{mg}{k} – v \Bigr)
\end{align*}

ここで$V=\Bigl( \frac{mg}{k} – v \Bigr)$とおくと

\begin{align*}
V&=\Bigl( \frac{mg}{k} – v \Bigr)\\
\frac{\diff V}{\diff t} &= \frac{\diff}{\diff t}\Bigl( \frac{mg}{k} – v \Bigr)\\
\frac{\diff V}{\diff t}&=-\frac{\diff v}{\diff t}
\end{align*}

となる。

よって

\begin{align*}
-\frac{\diff V}{\diff t} &=\frac{k}{m} V \\
\frac{\diff V}{V} &=-\frac{k}{m}\diff t \\
\int \frac{\diff V}{V} &= \int \Bigl(-\frac{k}{m} \Bigr) \diff t \\
\log V &=- \frac{k}{m}t +C_1 \\
V &= e^{- \frac{k}{m}t +C_1} \\
&= e^{C_1} \cdot e^{- \frac{k}{m}t} \\
&= C_2 \cdot e^{- \frac{k}{m}t} \\
\end{align*}

ここで、初期条件$v_0 =0$より

\begin{align*}
V(0) &= \frac{mg}{k} – v(0) \\
&= \frac{mg}{k} – 0 \\
& =\frac{mg}{k}
\end{align*}

なので、

\begin{align*}
V(0) = C_2 \cdot e^{- \frac{k}{m}\cdot 0} &= \frac{mg}{k} \\
C_2 &= \frac{mg}{k}
\end{align*}

従って、$V(t)$は

\begin{align*}
V(t) = \frac{mg}{k} \cdot e^{- \frac{k}{m}t}
\end{align*}

となり、$v(t)$は

\begin{align*}
v(t) & = \frac{mg}{k} – V(t) \\
& =\frac{mg}{k} – \frac{mg}{k} \cdot e^{- \frac{k}{m}t} \\
& = \frac{mg}{k} \Bigl( 1- e^{-\frac{k}{m}t} \Bigr)
\end{align*}

となる。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。