未整理-002

・ 力学基礎〜運動方程式

力学基礎〜運動方程式

(1) 速度の定義　

\begin{align*}
v(t)=\frac{\diff x}{\diff t}
\end{align*}

速度の次元
\begin{align*}
\Bigl [ \frac{L}{T} \Bigr ]
\end{align*}

(2) 加速度の定義　

\begin{align*}
a(t)=\frac{\diff v}{\diff t}
\end{align*}

加速度の次元
\begin{align*}
\Biggl[ \frac{\frac{L}{T}}{T} \Biggr]=\biggl [ \frac{L}{T^2} \biggr ]
\end{align*}

(3) 運動方程式は

\begin{align*}
ma=F
\end{align*}

力の次元
\begin{align*}
[M] \biggl [ \frac{L}{T^2} \biggr ]=\biggl [ \frac{ML}{T^2} \biggr ]
\end{align*}

(4) 運動方程式を変形すると様々な物理用を導くことができる。

運動方程式の両辺を$x$で積分すると

\begin{align*}
\int m\frac{\diff v}{\diff t} \diff x &=\int F \diff x \\
\int m\frac{\diff v}{\diff t} v\diff t &=\int F \diff x \\
\int \Bigl( m\frac{\diff v}{\diff t} v \Bigr) \diff t &=\int F \diff x \\
\int \frac{\diff}{\diff t} \Bigl( \frac{1}{2}mv^2 \Bigr) \diff t &=\int F \diff x \\
\end{align*}

となる。

左辺の$\frac{1}{2}mv^2$の部分は運動エネルギーを表し、右辺の$\int F \diff x$は仕事を表している。

運動エネルギーの次元は
\begin{align*}
\Biggl[ M \Biggl(\frac{L}{T}\Biggr)^2 \Biggr]=\biggl [ \frac{ML^2}{T^2} \biggr ]
\end{align*}

であり、

仕事の次元は
\begin{align*}
\Biggl[ \frac{ML}{T^2} L \Biggr]=\biggl [ \frac{ML^2}{T^2} \biggr ]
\end{align*}

となり、運動エネルギーと仕事の次元が等しいことがわかる

(5) また、運動方程式を変形すると

\begin{align*}
m\frac{\diff v}{\diff t} &=F \\
\frac{\diff }{\diff t} (mv) &=F \\
\end{align*}

と表される。この式はニュートンが始めに提唱した運動方程式の形である。

$mv$の部分は運動量である。
運動量を$p$とすると、

\begin{align*}
\frac{\diff}{\diff t} (p) &=F \\
\diff p &= F \diff t \\
\end{align*}

この左辺$F \diff t$が力積である。

運動量の次元は

\begin{align*}
\Biggl[ M \frac{L}{T} \Biggr]=\biggl [ \frac{ML}{T} \biggr ]
\end{align*}

であり、

力積の次元は

\begin{align*}
\Biggl[ \frac{ML}{T^2} T \Biggr]=\biggl [ \frac{ML}{T} \biggr ]
\end{align*}

となり、運動量と力積の次元が等しいことがわかる。

(6) さらに、運動方程式をベクトルで考え、両辺に左から位置ベクトル$\vec{r}$の外積を取ると

\begin{align*}
\vec{r} \times m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=\vec{r} \times \vec{F} \\
\vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t}(m\vec{v}) &=\vec{r} \times \vec{F}\\
\end{align*}

となる。
ここで、

\begin{align*}
\frac{\diff }{\diff t} (\vec{r} \times m\vec{v}) &= \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} \times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t} (m\vec{v}) \\
&= \vec{r} \times m\vec{v} +\vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t} (m\vec{v}) \\
&=\vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t} (m\vec{v})
\end{align*}

従って、

\begin{align*}
\vec{r} \times \frac{\diff }{\diff t}(m\vec{v}) &=\vec{r} \times \vec{F}\\
\frac{\diff }{\diff t} (\vec{r} \times m\vec{v}) &= \vec{r} \times \vec{F}\\
\end{align*}

と表される。

左辺の$\vec{r} \times m\vec{v}$の部分は角運動量$\vec{L}$であり、左辺の$\vec{r} \times \vec{F}$は力のモーメント$\vec{N}$である。

角運動量の次元は

\begin{align*}
\Biggl[ L M \frac{L}{T} \Biggr]=\biggl [ \frac{ML^2}{T} \biggr ]
\end{align*}

であり、

力のモーメントの次元は

\begin{align*}
\Biggl[ L \frac{ML}{T^2} \Biggr]=\biggl [ \frac{ML^2}{T^2} \biggr ]
\end{align*}

となる。

運動方程式の両辺に左側から位置ベクトル$\vec{r}$の外積を取って導かれる式

\begin{align*}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t} =\vec{N}
\end{align*}

は「回転の運動方程式」と呼ばれる。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。