未整理-001

・ 速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動について

速度に比例する空気抵抗$kv$を受けて落下する運動について

運動方程式

\begin{align*}
ma=mg-kv
\end{align*}

と表すことができる。

速度を

\begin{align*}
v(t)=\frac{mg}{k} \Bigl ( 1-e^{-\frac{k}{m}t} \Bigr)
\end{align*}

とすると

加速度は

\begin{align*}
a(t)&=\frac{\diff }{\diff t} \bigl[ \frac{mg}{k} \Bigl ( 1-e^{-\frac{k}{m}t} \Bigr)\bigr] \\
&=\frac{\diff }{\diff t} \bigl[ \frac{mg}{k} – \frac{mg}{k} e^{-\frac{k}{m}t} \bigr] \\
&=-\frac{mg}{k} \Bigl( -\frac{k}{m} \bigr)e^{-\frac{k}{m}t} \\
&=g e^{-\frac{k}{m}t}
\end{align*}

となる。

$v-t$グラフを描くために、計算すると

\begin{align*}
v(0)&=\frac{mg}{k} \Bigl ( 1-e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} \Bigr)=0
\\
v(\infty)&=\frac{mg}{k} \Bigl ( 1-e^{-\frac{k}{m}\cdot \infty} \Bigr)=\frac{mg}{k}
\end{align*}

となる。

$v-t$グラフの傾きとなる$a(t)$は

\begin{align*}
a(0)&=g e^{-\frac{k}{m}\cdot 0} =g
\\
a(\infty)&=g e^{-\frac{k}{m}\cdot \infty} =0
\end{align*}

となる。

原点付近の傾きは$g$であり、最終的には$0$になることが解る。

十分に時間が経ったときの速度$v(\infty)$を終端装置と呼ぶ。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。