未整理-010

公開日: : 最終更新日:2019/02/05 未分類

・ 等速円運動 〜 速度・加速度

半径 $r_0$ 角速度 $\displaystyle \frac{\diff \theta}{\diff t} =\omega \ (\text{一定})$ の等速円運動のモデルについて考える。

速度 $\vec{v}$ を求め、その大きさを計算せよ。

$t=0$ で $(x, y)=(r_0 , 0)$ とすると、ある時刻 $t$ での位置は

\begin{eqnarray}
x(t) &=& r_0 \cos \omega t\\
y(t) &=& r_0 \sin \omega t\\
\end{eqnarray}

と表される。
よって、速度 $v$ は

\begin{eqnarray}
v_x &=& \frac{\diff }{\diff t} \left( r_0 \cos \omega t \right) = – r_0 \omega \sin \omega t \\
\\
v_y &=& \frac{\diff }{\diff t} \left( r_0 \sin \omega t \right) = r_0 \omega \cos \omega t\\
\end{eqnarray}
となるので、

\begin{eqnarray}
\vec{v} = \left(
\begin{array}{cc}
v_x \\
v_y \\
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
– r_0 \omega \sin \omega t \\
r_0 \omega \cos \omega t \\
\end{array} \right)
\end{eqnarray}

従って、

\begin{eqnarray}
v=\sqrt{v_x^2 +v_y^2} &=& \sqrt{(- r_0 \omega \sin \omega t)^2+(r_0 \omega \cos \omega t)^2}\\
\\
&=& \sqrt{ r_0^2 \omega ^2 \sin ^2\omega t+r_0^2 \omega ^2 \cos ^2\omega t } \\
\\
&=& \sqrt{r_0^2 \omega ^2 (\sin ^2\omega t +\cos ^2 \omega t)} \\
\\
&=& \sqrt{r_0^2 \omega ^2}\\
\\
&=& r_0 \omega
\end{eqnarray}

となる。

速度 $\vec{a}$ を求め、その大きさを計算せよ。

同様に、加速度については

\begin{eqnarray}
a_x &=& \frac{\diff }{\diff t} \left( – r_0 \omega \sin \omega t \right) = – r_0 \omega ^2 \cos \omega t \\
\\
a_y &=& \frac{\diff }{\diff t} \left( r_0 \omega \cos \omega t \right) = – r_0 \omega ^2 \sin \omega t\\
\end{eqnarray}

となるので、
\begin{eqnarray}
\vec{a} = \left(
\begin{array}{cc}
a_x \\
a_y \\
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
– r_0 \omega^2 \cos \omega t \\
– r_0 \omega^2 \sin \omega t \\
\end{array} \right)
\end{eqnarray}

従って、

\begin{eqnarray}
a=\sqrt{a_x^2 +a_y^2} &=& \sqrt{(- r_0 \omega^2 \cos \omega t)^2+(- r_0 \omega^2 \sin \omega t)^2}\\
\\
&=& \sqrt{ r_0^2 \omega ^4 \cos ^2\omega t+r_0^2 \omega ^4 \sin ^2\omega t }\\
\\
&=& \sqrt{r_0^2 \omega ^4 (\cos ^2\omega t +\sin ^2 \omega t)} \\
\\
&=& \sqrt{r_0^2 \omega ^4}\\
\\
&=& r_0 \omega^2
\end{eqnarray}

となる。

角速度 $\omega$ が定数なので微分の計算は比較的楽でいいすね。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。

ad

関連記事

未整理-006

・ オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \co

記事を読む

未整理-004

・ 積分計算 - 無限長ソレノイド - \begin{eqnarray} \displa

記事を読む

未整理-011

・ 等速円運動 〜 位置ベクトル $\vec{r}$, 速度ベクトル $\vec{v}$, 加速度ベ

記事を読む

未整理-007

・ 部分積分法の証明 2つの関数$f(x),\ g(x)$について 2つの関数の

記事を読む

未整理-005

・ オイラーの公式 オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{i

記事を読む

未整理-008

・ 自由落下〜エネルギー保存則 図のように上向きを正に軸を取ると、運動方程式は

記事を読む

未整理-012

・ ニュートンが初めに提唱した運動方程式の形について ニュートンが初めに提唱した運動方程式

記事を読む

未整理-009

・ 等速円運動〜角運動量保存 質量 $m$ の物体が半径 $r$ 速さ $v$ の等速

記事を読む

ad

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑