未整理-009

公開日: : 最終更新日:2019/02/05 未分類

・ 等速円運動〜角運動量保存

質量 $m$ の物体が半径 $r$ 速さ $v$ の等速円運動をしている。

1. この物体の回転中心まわりの角運動量 $\vec{L}$ の大きさを求めよ。

2. この運動において角運動量が保存していることを示せ。

角運動量 $\vec{L}$ は
\begin{eqnarray}
\vec{L} &=&\vec{r} \times m\vec{v} \\
&=& r mv \sin \frac{\pi}{2} \vec{e} \ \ (\vec{e} : \vec{r} \perp \vec{e} ,\ \vec{v} \perp \vec{e} \ \mbox{となる方向の単位ベクトル}) \\
&=& r mv \ \vec{e} \\
|\vec{L}| &=& mrv
\end{eqnarray}

角運動量の時間変化は

\begin{eqnarray}
\frac{\diff \vec{L}}{\diff t} &=&\frac{\diff}{\diff t} \left( \vec{r} \times m\vec{v} \right)\\
\\
&=& \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} \times m\vec{v} + \vec{r} \times \frac{\diff}{\diff t} \left( m\vec{v} \right) \\
\\
&=& \vec{v} \times m\vec{v} + \vec{r} \times m\frac{\diff \vec{v}}{\diff t} \\
\\
&=& m \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times m \vec{a} \\
\\
&=&0
\end{eqnarray}

従って, 角運動量は時間的に変化せず, 保存している。

補足

外積について
\begin{eqnarray}
\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \ \vec{e}\\
\end{eqnarray}
を利用した。
この問題では $\vec{r}$ と $\vec{v}$ のなす角$\theta$は $\displaystyle 90^{\circ} =\frac{\pi}{2} $ である。

また, 2つのベクトルが並行の場合, 即ち, $\theta = 0^{\circ} \mbox {or} \ 180^{\circ}$ の場合は $\sin \theta = 0$ となるので外積も $0$ となる。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。

ad

関連記事

未整理-012

・ ニュートンが初めに提唱した運動方程式の形について ニュートンが初めに提唱した運動方程式

記事を読む

未整理-007

・ 部分積分法の証明 2つの関数$f(x),\ g(x)$について 2つの関数の

記事を読む

未整理-011

・ 等速円運動 〜 位置ベクトル $\vec{r}$, 速度ベクトル $\vec{v}$, 加速度ベ

記事を読む

未整理-005

・ オイラーの公式 オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{i

記事を読む

未整理-010

・ 等速円運動 〜 速度・加速度 半径 $r_0$ 角速度 $\displayst

記事を読む

未整理-008

・ 自由落下〜エネルギー保存則 図のように上向きを正に軸を取ると、運動方程式は

記事を読む

未整理-004

・ 積分計算 - 無限長ソレノイド - \begin{eqnarray} \displa

記事を読む

未整理-006

・ オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \co

記事を読む

ad

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑