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問題 質量$m$の物体が長さ$l$の糸につるされている。 この物体の単振り子運動においてエネルギー保存則が成立することを 運動方程式から導け。 解答 極座標で表した運動方程式は糸の張力を$S$とすると \begin{align*} \begin{cases} ml\left(\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)^2=S-mg\cos\theta\\ ml\frac{\diff^2\theta}{\diff t^2}=-mg\sin\theta \end{cases} \en ...

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*} を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。 解答 (1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac ...

問題 単振動の微分方程式 \begin{align*} m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx \end{align*} の解を$x(t)=Ce^{\lambda t}$とおいて解け。 但し、$C,\lambda$は定数とする。 解答 $\omega^2=\frac{k}{m}$とおくと、 \begin{align*} \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x \end{align*} となる。 解である$x(t)=Ce^{\lambda t} ...

問題 質量$m$の物体が長さ$l\ $の糸につるされている。 この物体の単振り子運動について以下の問いに答えよ。 (1) 極座標を考えたとき、$r$方向と$\theta$方向の運動方程式を立てよ。 (2) 振れ角$\theta$が十分に小さいとき$\sin\theta\simeq\theta$が成立する。 $\ \ \ \ \ $この時の運動の周期$T$を求めよ。 (3) 物体を十分小さな角$\theta_0$の地点から$t=0$で運動させたとする。 $\ \ \ \ \ $この運動に置いて振れ角$\th ...

問題 極座標の平面を考える。 加速度$\vec{a}$において$r$方向の加速度$a_r$と$\theta$方向の加速度$a_\theta$を求めよ。 解答 $a_r,a_\theta$を$a_x,a_y$を用いて表すと、 \begin{align*} a_r=&a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\ a_\theta=&-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta \end{align*} となる。 ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r ...

問題 極座標の平面を考える。 速度$\vec{v}$において$r$方向の速度$v_r$と$\theta$方向の速度$v_\theta$を求めよ。 解答 $v_r,v_\theta$を$v_x,v_y$を用いて表すと、 \begin{align*} v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\ v_\theta&=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta \end{align*} となる。 ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r\co ...

問題 半径$r_0$、速さ$v_0$で等速円運動をしている物体について 以下の問いに答えよ。 (1) 速度ベクトル$\vec{v}$と位置ベクトル$\vec{r}$が直交していることを示せ。 (2) 速度ベクトル$\vec{v}$と加速度ベクトル$\vec{a}$が直交していることを示せ。 (3) 加速度の大きさ$|\vec{a}|$を求めよ。 解答 直交を示す方法として、$\vec{v}\cdot\vec{r}=0$を示す方法を用いる。 $\vec{r}$と$\vec{v}$のそれぞれをそれ自身と内積を ...

問題 次の式を証明せよ。ただし$\phi$はスカラーとする。 (1) $\frac{\diff}{\diff t}(\phi\vec{A})=\frac{\diff\phi}{\diff t}\vec{A}+\phi\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}$ (2) $\frac{\diff}{\diff t}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\frac{\diff\vec{ ...

問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec{B}=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 (1) この2つのベクトルの外積が \begin{align*} \vec{A}\times\vec{B}=\left( \begin{array}{ccc} A_yB_z-A_zB_y\\ A_zB_x-A_xB_z\\ A_xB_y-A_yB_x \end{array} \right) ...

問題 地球の質量と平均密度を万有引力の法則を用いて見積もるとする。 地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の重力加速度を$g$、万有引力定数を$G$として 以下の問いに答えよ。 (1) 地球の質量$M_\mathrm{E}$を表せ。 (2) 地球の平均密度$\rho$を表せ。 さらに$R_\mathrm{E}=6.38\times10^6$[$\mathrm{m}$], $g=9.80$[$\mathrm{m/s^2}$], $G=6.67\times10^{-11}$[$\mathrm{N\cd ...