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問題 3次元の直交座標系を考える。 ベクトルの成分を \begin{align*} \vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec{B}=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 (1) この2つのベクトルの外積が \begin{align*} \vec{A}\times\vec{B}=\left( \begin{array}{ccc} A_yB_z-A_zB_y\\ A_zB_x-A_xB_z\\ A_xB_y-A_yB_x \end{array} \right) ...

問題 地球の質量と平均密度を万有引力の法則を用いて見積もるとする。 地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の重力加速度を$g$、万有引力定数を$G$として 以下の問いに答えよ。 (1) 地球の質量$M_\mathrm{E}$を表せ。 (2) 地球の平均密度$\rho$を表せ。 さらに$R_\mathrm{E}=6.38\times10^6$[$\mathrm{m}$], $g=9.80$[$\mathrm{m/s^2}$], $G=6.67\times10^{-11}$[$\mathrm{N\cd ...

問題 水平面上に質量$m$の物体が置かれている。 水平方向から力$F$を加えて動かそうとしたところ 力が$f_0$を超えたときに動き出した。 (1) 面と物体の間の静止摩擦係数$\mu_0$を求めよ。 (2) 力$F$と摩擦係数$\mu$の関係をグラフで表せ。 解答 $x$軸,$y$軸を設定し、作用する力を書き込むと、 物体に作用する力は、重力$mg$、抗力$R$、加えた力$F$の3つとなる。 $x$軸、$y$軸に合わせて力を分解すると、 となる。 従って、運動方程式は \begin{align*} \b ...

問題 質量を持つ2つの物体の間には万有引力が作用する。 このことから地球の重力$mg$を求めるとする。 (1) 地球の半径を$R_\mathrm{E}$、地球の質量を$M_\mathrm{E}$、物体の質量を$m$とし、 地表から物体までの高さ$h$は$R_\mathrm{E}$に比べて極めて小さく、無視できるものとする。 万有引力の法則 \begin{align*} F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \end{align*} から重力加速度$g$を表せ。 (2) $G=6.67\times10 ...

問題 滑らかな水平面上に2つの物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が接触して置かれている。 力$F$を$\mathrm{A}$の側から水平に加えたとする。 2つの物体の質量をそれぞれ$m_\mathrm{A}$,$m_\mathrm{B}$として以下の問いに答えよ。 (1) 物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の加速度$a$を求めよ。 (2) 物体$\mathrm{B}$に加わる力$f$を求めよ。 解答 右側を正に取り、作用する力を書き込むと、 となる。 (1) 運動方 ...

問題 天井に固定された滑車に2つの物体がひもでつながれて運動している。 物体の質量をそれぞれ$m_1$,$m_2$とする。($m_1 < m_2$) 滑車には摩擦がなく、ひもの質量は無視できるとし、 運動中はひもがたるまないとする。 以下の問いに答えよ。 (1) それぞれの物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の加速度$a$を求めよ。 (3) ひもの張力$T$を求めよ。 解答 $m_1 < m_2$より、$m_1$は上昇し、$m_2$は下降すると考えられる。 従って下図のように軸をそれぞれ取り、作用す ...

問題 粗い水平面上に置かれた質量$m$の物体がある。 この物体に初速度$v_0$を与えて動かしたら距離$L$だけ移動して静止した。 動摩擦係数を$\mu'$としたとき移動距離$L$を求めよ。 解答 $x$軸、$y$軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと、 物体が運動している間に作用する力は、重力$mg$、抗力$R$の 2つとなります。 $x, y$軸に合わせて力を分解すると となります。 従って、運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=-f\\ ma_y=N-m ...

問題 質量$m$の質点が初速度$v_0$で投げ出される運動を考える。 鉛直方向に投げた場合の最高点と、斜方に投げ出された場合の水平到達距離が 等しくなるための方向を求めよ。 解答 2つの運動の組み合わせの問題である。 それぞれの運動について考えればよい。 まずは鉛直投げ上げにおいて作図し、作用する力を書き込むと 作用する力は重力$mg$のみである。 従って、運動方程式は \begin{align*} ma_y&=-mg\\ m\frac{\diff v_y}{\diff t}&=-mg \end{alig ...

問題 なめらかな水平面上に壁からばねが取り付けれられている。 ばねは自然長の状態で静止しているとする。 $t=0$で初速度$v_0$を壁向きに与えると、物体は単振動した。 物体の質量を$m$、ばね定数を$k$として以下の問いに答えよ。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度$v(t)$を求めよ。 (3) 物体の変位$x(t)$を求めよ。 (4) 物体の加速度$a(t)$を求めよ。 (5) $v(t), x(t), a(t)$のグラフを横軸$t$として描け。 解答 (1) 物体に作用する力は$x ...

問題 水平面上に置かれた粗い板があり、質量$m$の物体が置かれている。 この板を左端$O$を支点として斜面の角度を変化させたとする。 静止摩擦係数を$\mu$としたとき、摩擦角$\theta_0$を表せ。 解答 斜面に平行な軸を$x$、斜面に垂直な軸を$y$とし、 物体に作用する力を書き込むと、 物体に作用する力は重力$mg$、抗力$R$となる。 $x$軸、$y$軸に合わせて力を分解すると、 運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=mg\sin\theta-f\\ ...