物理数学

2020/2/26

ガンマ関数

問題ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \end{eqnarray*} で定義される。以下の問いに答えよ。 (1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。 (2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。 (3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。 (4 ...

微分・積分熱・統計力学物理数学

2020/2/26

偏微分の関係式の導出

問題以下の関係式を導出せよ。 (1) $\displaystyle \left( \frac{\partial Z}{\partial X} \right)_Y = \left( \frac{\partial X}{\partial Z} \right)^{-1}_Y$ (2) $\displaystyle \left( \frac{\partial X}{\partial Y} \right)_Z \left( \frac{\partial Y}{\partial Z} \right)_X \left ...

物理数学複素解析

2020/2/12

ド・モアブルの定理の導出

問題オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理 \begin{eqnarray*} \cos nx + i \sin nx = (\cos x +i\sin x)^n \end{eqnarray*} を導出せよ。解答 $e^{inx}$を考えると、 \begin{eqnarray*} e^{inx} &=& (e^{ix})^n \\ \\ &=& (\cos x +i\sin x)^n \\ \end{eqnarray*} となる。一方 \begin{ ...

力学微分方程式物理学

2020/2/11

単振動の変位と速度、加速度の関係

問題単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) = A \sin (\omega t) \end{eqnarray*} と表されているとき以下の問に答えよ。 (1) 速度 $v$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (2) 加速度 $a$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (3) 単振動は運動方程式 $\ddot{y}+\omega ^2 y =0$ を満たすことを示せ。解答 (1) 速度$v$は \begin{eqnarray*} v = \frac{\diff y} ...

物理数学複素解析

2020/2/11

オイラーの公式と加法定理

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*} を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。解答 (1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac ...

力学微分方程式物理学

2020/2/11

単振動の微分方程式

問題単振動の微分方程式 \begin{align*} m\frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-kx \end{align*} の解を$x(t)=Ce^{\lambda t}$とおいて解け。但し、$C,\lambda$は定数とする。解答 $\omega^2=\frac{k}{m}$とおくと、 \begin{align*} \frac{\diff^2 x}{\diff t^2}=-\omega^2x \end{align*} となる。解である$x(t)=Ce^{\lambda t} ...

ベクトル解析物理数学

2020/2/11

ベクトルの微分

問題次の式を証明せよ。ただし$\phi$はスカラーとする。 (1) $\frac{\diff}{\diff t}(\phi\vec{A})=\frac{\diff\phi}{\diff t}\vec{A}+\phi\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}$ (2) $\frac{\diff}{\diff t}(\vec{A}\cdot\vec{B})=\frac{\diff\vec{A}}{\diff t}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\frac{\diff\vec{ ...

ベクトル解析物理数学

2020/2/11

ベクトルの外積

問題 3次元の直交座標系を考える。ベクトルの成分を \begin{align*} \vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec{B}=(B_x, B_y, B_z) \end{align*} とする。 (1) この2つのベクトルの外積が \begin{align*} \vec{A}\times\vec{B}=\left( \begin{array}{ccc} A_yB_z-A_zB_y\\ A_zB_x-A_xB_z\\ A_xB_y-A_yB_x \end{array} \right) ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

微分の定義から導関数を求める

問題ある関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は \begin{align*} f'(x)=\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align*} で定義される。次の関数$f(x)$の導関数$f'(x)$を定義から計算せよ。 (1) $f(x)=2x$ (2) $f(x)=x^n$ (3) $f(x)=\sin x$ (4) $f(x)=\cos x$ 解答 (1) \begin{align*} f'(x)& ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

偏微分の状態方程式への利用

問題理想気体の状態方程式は \begin{align*} pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)} \end{align*} と表される。このとき \begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align* ...

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