微分・積分

2020/2/26

ガンマ関数

問題ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \end{eqnarray*} で定義される。以下の問いに答えよ。 (1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。 (2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。 (3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。 (4 ...

微分・積分熱・統計力学物理数学

2020/2/26

偏微分の関係式の導出

問題以下の関係式を導出せよ。 (1) $\displaystyle \left( \frac{\partial Z}{\partial X} \right)_Y = \left( \frac{\partial X}{\partial Z} \right)^{-1}_Y$ (2) $\displaystyle \left( \frac{\partial X}{\partial Y} \right)_Z \left( \frac{\partial Y}{\partial Z} \right)_X \left ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

微分の定義から導関数を求める

問題ある関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は \begin{align*} f'(x)=\lim_{\Delta x \to \infty}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align*} で定義される。次の関数$f(x)$の導関数$f'(x)$を定義から計算せよ。 (1) $f(x)=2x$ (2) $f(x)=x^n$ (3) $f(x)=\sin x$ (4) $f(x)=\cos x$ 解答 (1) \begin{align*} f'(x)& ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

偏微分の状態方程式への利用

問題理想気体の状態方程式は \begin{align*} pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)} \end{align*} と表される。このとき \begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align* ...

微分・積分物理学

2020/2/11

マクローリン展開の計算

問題次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin x$ (2) $f(x)=\cos x$ (3) $f(x)=e^x$ 解答関数$f(x)$のマクローリン展開は \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*} で与えられる。 (1) \begin{align*} f(0)&=\sin0=0\\ f'(0)&=\cos0=1\\ f''(0)&=-\sin0= ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

密度が一様でない棒の質量

問題密度が一様でない棒の質量を考える。この棒の線密度$\rho(x)$が \begin{align*} \rho(x)=\rho_0+\rho_1x \end{align*} で表され、全長が$l$のときこの棒の質量を求めよ。解答図に表すととなる。微笑部分の質量$\diff M$は \begin{align*} \diff M=\rho(x)\diff x \end{align*} と表せる。よって全質量$M$は \begin{align*} M&=\int_{0}^{l}\rho(x)\d ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

円の面積変化を考える

問題半径$r$の円がある。その半径を微笑量$\diff r$ $(\diff r\ll r)$だけ変化させたとき、円の面積の変化$\diff S$はどれだけになるか計算せよ。解答円の面積$S$は \begin{align*} S=\pi r^2 \end{align*} である。 $r$が$\diff r$だけ変化したときのSの変化$\diff S$は \begin{align*} \diff S&=\frac{\diff S}{\diff r}\cdot\diff r\\ &=\frac{\di ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

球の変化率を考える

問題風船に空気を入れ、膨らませる場合の変化について考える。風船に毎秒$v_0$の割合で吹きこむとする。 $t=0$で半径$r$は$0$であるとし、スタートした瞬間から半径$r$の球となって膨らむものとする。半径の増加率$\dfrac{\diff r}{\diff t}$を求めよ。解答時刻$t$のとき$v_0t$の空気が入っているので、その半径を$r$とすると \begin{align*} \frac{4\pi}{3}r^3=v_0t \end{align*} である。よって半径$r$について ...

微分・積分物理数学

2020/2/11

べき級数展開と近似式

問題関数$f(x)=(1+x)^\alpha$（$\alpha$は実数）について (1) べき級数展開を求めよ。 (2) $|x|\ll$のとき、$f(x)$の$x$に関する2次の項までの近似式を求めよ。解答 (1) 関数$f(x)$のべき級数展開は \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*} で与えられる。ここで \begin{align*} f(0)&=(1+0)^\alpha=1\\ ...