微分方程式～自由落下

問題

質量$m$の物体を自由落下させることを考える。
鉛直下向きを正の向きにとり高さ$z$を測ると、物体の持つ全エネルギーは

$$\begin{align*} E=\frac{1}{2}mv^2-mgz \end{align*}$$
と書ける。
$t=0$で$z=0$にあり、全エネルギーが保存されることを用いて
高さ$z(t)$を求めよ。
但し、$v$は速度、$g$は重力加速度を表しているとする。

解答

全エネルギー$E$を変形すると

$$\begin{align*} E&=\frac{1}{2}mv^2-mgz\\ E+mgz&=\frac{1}{2}mv^2\\ \frac{2(E+mgz)}{m}&=v^2\\ v&=\sqrt{\frac{2(E+mgz)}{m}} \end{align*}$$
となる。
ここで、$t=0$で$z=0$, $\dfrac{\diff z}{\diff t}=0$であるため

$$\begin{align*} E(0)=\frac{1}{2}m\cdot 0 ^2 - mg \cdot 0 =0 \end{align*}$$
である。
この全エネルギー$E$が保存されるので、$E=0$が常に成立する。
よって
$$\begin{align*} v=\frac{\diff z}{\diff t}&=\sqrt{\frac{2(0+mgz)}{m}}\\ &=\sqrt{2gz}\\ \frac{1}{\sqrt{2gz}}\cdot\diff z&=\diff t \end{align*}$$
両辺を積分して整理すると
$$\begin{align*} \int_{z(0)}^{z(t)}\frac{\diff z}{\sqrt{2gz}}&=\int_{0}^{t}\diff t\\ \sqrt{\frac{2z(t)}{g}}-\sqrt{\frac{2z(0)}{g}}&=t -0 \\ \sqrt{\frac{2z(t)}{g}}&=t\\ \frac{2z(t)}{g}&=t^2\\ z(t)&=\frac{1}{2}gt^2 \end{align*}$$
となる。