物理学

2020/2/11

接触した物体の運動

問題滑らかな水平面上に2つの物体 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ が接触して置かれている。力 $F$ を $\mathrm{A}$ の側から水平に加えたとする。 2つの物体の質量をそれぞれ $m_\mathrm{A}$ , $m_\mathrm{B}$ として以下の問いに答えよ。 (1) 物体 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ の加速度 $a$ を求めよ。 (2) 物体 $\mathrm{B}$ に加わる力 $f$ を求めよ。解答右側を正に取り、作用する力を書き込むと、となる。 (1) 運動方 ...

力学物理学

2020/2/11

固定された滑車の運動

問題天井に固定された滑車に2つの物体がひもでつながれて運動している。物体の質量をそれぞれ $m_1$ , $m_2$ とする。( $m_1 < m_2$ ) 滑車には摩擦がなく、ひもの質量は無視できるとし、運動中はひもがたるまないとする。以下の問いに答えよ。 (1) それぞれの物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の加速度 $a$ を求めよ。 (3) ひもの張力 $T$ を求めよ。解答 $m_1 < m_2$ より、 $m_1$ は上昇し、 $m_2$ は下降すると考えられる。従って下図のように軸をそれぞれ取り、作用す ...

力学物理学

2020/2/11

摩擦力のある物体の運動

問題粗い水平面上に置かれた質量 $m$ の物体がある。この物体に初速度 $v_0$ を与えて動かしたら距離 $L$ だけ移動して静止した。動摩擦係数を $\mu'$ としたとき移動距離 $L$ を求めよ。解答 $x$ 軸、 $y$ 軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと、物体が運動している間に作用する力は、重力 $mg$ 、抗力 $R$ の 2つとなります。 $x, y$ 軸に合わせて力を分解するととなります。従って、運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=-f\\ ma_y=N-m ...

力学物理学

2020/2/11

射法投射と鉛直投げ上げ

問題質量 $m$ の質点が初速度 $v_0$ で投げ出される運動を考える。鉛直方向に投げた場合の最高点と、斜方に投げ出された場合の水平到達距離が等しくなるための方向を求めよ。解答 2つの運動の組み合わせの問題である。それぞれの運動について考えればよい。まずは鉛直投げ上げにおいて作図し、作用する力を書き込むと作用する力は重力 $mg$ のみである。従って、運動方程式は \begin{align*} ma_y&=-mg\\ m\frac{\diff v_y}{\diff t}&=-mg \end{alig ...

力学物理学

2020/2/11

単振動の変位、速度、加速度

問題なめらかな水平面上に壁からばねが取り付けれられている。ばねは自然長の状態で静止しているとする。 $t=0$ で初速度 $v_0$ を壁向きに与えると、物体は単振動した。物体の質量を $m$ 、ばね定数を $k$ として以下の問いに答えよ。 (1) 運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の速度 $v(t)$ を求めよ。 (3) 物体の変位 $x(t)$ を求めよ。 (4) 物体の加速度 $a(t)$ を求めよ。 (5) $v(t), x(t), a(t)$ のグラフを横軸 $t$ として描け。解答 (1) 物体に作用する力は$x ...

力学物理学

2020/2/11

斜面の摩擦角

問題水平面上に置かれた粗い板があり、質量 $m$ の物体が置かれている。この板を左端 $O$ を支点として斜面の角度を変化させたとする。静止摩擦係数を $\mu$ としたとき、摩擦角 $\theta_0$ を表せ。解答斜面に平行な軸を $x$ 、斜面に垂直な軸を $y$ とし、物体に作用する力を書き込むと、物体に作用する力は重力 $mg$ 、抗力 $R$ となる。 $x$ 軸、 $y$ 軸に合わせて力を分解すると、運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=mg\sin\theta-f\\ ...

力学物理学

2020/2/11

物体が滑り出さない条件

問題粗い水平面上に置かれた質量 $m$ の物体に水平と $\alpha$ の角をなす方向から力 $F$ を加えたとする。物体が滑り出さないための力 $F$ の条件を求めよ。但し、静止摩擦係数を $\mu$ とする。解答 $x,y$ 軸を設定し、物体に作用する力を書き込むと物体に作用する力は重力 $mg$ 、抗力 $R$ 、加える力 $F$ となる。 $x,y$ 軸に合わせて力を分解すると運動方程式は \begin{align*} \begin{cases} ma_x=F\cos\alpha-f\\ ma_y=N-mg-F\sin ...

力学物理学

2020/2/11

単振動のエネルギー

問題滑らかな水平面上にばねと物体が図のように設置されている。物体の質量を $m$ 、ばね定数を $k$ とする。この物体が単振動する時、エネルギー保存則が成立することを運動方程式から導け。解答物体に作用する力はばねの復元力の大きさ $kx$ のみである。従って運動方程式は

$\begin{align*} m\frac{\diff v}{\diff t}=-kx \end{align*}$ となる。両辺を

$x$ で積分すると \begin{align*} \int m\frac{\diff v}{\diff ...

力学物理学

2020/2/11

斜面を滑り下りる運動

問題水平面をなす角 $\theta$ の粗い斜面上の点 $\mathrm{A}$ から物体を初速 $v_0$ で斜面に沿って下向きに打ち出した。物体の質量を $m$ 、重力加速度を $g$ 、動摩擦係数を $\mu_k$ とする。点 $\mathrm{A}$ から距離 $L$ だけ進んだ点 $\mathrm{B}$ において以下の問いに答えよ。 (1) 重力がした仕事を求めよ。 (2) 垂直抗力がした仕事を求めよ。 (3) 動摩擦力がした仕事を求めよ。 (4) 点 $\mathrm{B}$ における速度 $v_1$ を求めよ。解答この運動 ...

微分・積分物理学

2020/2/11

マクローリン展開の計算

問題次の関数 $f(x)$ をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin x$ (2) $f(x)=\cos x$ (3) $f(x)=e^x$ 解答関数 $f(x)$ のマクローリン展開は

$\begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n \end{align*}$ で与えられる。 (1) \begin{align*} f(0)&=\sin0=0\\ f'(0)&=\cos0=1\\ f''(0)&=-\sin0= ...

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