問題
3次元の直交座標系を考える。
ベクトルの成分を
\begin{align*}
\vec A&=(A_x, A_y, A_z)\\
\vec B&=(B_x, B_y, B_z)
\end{align*}
とする。
この2つのベクトルの内積が
\begin{align*}
\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
\end{align*}
となることを示せ。
解答
$x$軸, $y$軸, $z$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$とすると
\begin{align*}
\vec A&=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k\\
\vec B&=B_x\vec i+B_y\vec j+B_z\vec k
\end{align*}
となる。
よってベクトルの内積は
\begin{align*}
\vec A\cdot\vec B=&(A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k)\cdot(B_x\vec i+B_y\vec j+B_z\vec k)\\
=&A_x\vec i\cdot B_x\vec i+A_x\vec i\cdot B_y\vec j+A_x\vec i\cdot B_z\vec k+\\
&A_y\vec j\cdot B_x\vec i+A_y\vec j\cdot B_y\vec j+A_y\vec j\cdot B_z\vec k+\\
&A_z\vec k\cdot B_x\vec i+A_z\vec k\cdot B_y\vec j+A_z\vec k\cdot B_z\vec k
\end{align*}
ここで単位ベクトルに対して
\begin{align*}
\vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec k\cdot\vec i=0\\
\vec i\cdot\vec i=\vec j\cdot\vec j=\vec k\cdot\vec k=1
\end{align*}
が成立する。（$\cos90^\circ=0$, $\cos0=1$）
従って
\begin{align*}
\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z
\end{align*}
となる。