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2019/9/20

未整理-012

・ニュートンが初めに提唱した運動方程式の形についてニュートンが初めに提唱した運動方程式の形は \begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff t} (m\vec{v}) =\vec{F} \end{eqnarray} と言われています。この式は「$m\vec{v}$ (運動量) の単位時間あたりの変化が力 $\vec{F}$ に等しい」「運動量$m\vec{v}$が変化すれば, 力$\vec{F}$が作用している」と解釈することができます。右辺を計算すると、 \beg ...

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2019/2/5

未整理-011

・等速円運動〜位置ベクトル $\vec{r}$, 速度ベクトル $\vec{v}$, 加速度ベクトル$\vec{a}$ の向き前述の計算より \begin{eqnarray} \vec{r}& =& \left( \begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} r_0 \cos \omega t \\ r_0 \sin \omega t \\ \end{array} \right)\ ...

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2019/2/5

未整理-010

・等速円運動〜速度・加速度半径 $r_0$ 角速度 $\displaystyle \frac{\diff \theta}{\diff t} =\omega \ (\text{一定})$ の等速円運動のモデルについて考える。速度 $\vec{v}$ を求め、その大きさを計算せよ。 $t=0$ で $(x, y)=(r_0 , 0)$ とすると、ある時刻 $t$ での位置は \begin{eqnarray} x(t) &=& r_0 \cos \omega t\\ y(t) &=& r_0 \sin ...

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2019/2/5

未整理-009

・等速円運動〜角運動量保存質量 $m$ の物体が半径 $r$ 速さ $v$ の等速円運動をしている。 1. この物体の回転中心まわりの角運動量 $\vec{L}$ の大きさを求めよ。 2. この運動において角運動量が保存していることを示せ。角運動量 $\vec{L}$ は \begin{eqnarray} \vec{L} &=&\vec{r} \times m\vec{v} \\ &=& r mv \sin \frac{\pi}{2} \vec{e} \ \ (\vec{e} : \vec{r} \ ...

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2019/2/5

未整理-008

・自由落下〜エネルギー保存則図のように上向きを正に軸を取ると、運動方程式は \begin{eqnarray} ma &=& -mg \\ \\ m \frac{\diff v}{\diff t} &=& -mg \end{eqnarray} ここで、両辺に速度 $\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$ をかけると, \begin{eqnarray} m \frac{\diff v}{\diff t} \color{blue} v &=& -mg \frac{\ ...

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2019/2/5

未整理-007

・部分積分法の証明 2つの関数$f(x),\ g(x)$について 2つの関数の積を$x$で微分すると, 合成関数の微分なので \begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff x} \left[ f(x) g(x)\right] = \frac{\diff f(x)}{\diff x} g(x) +f(x)\frac{\diff g(x)}{\diff x} \end{eqnarray} となります。この式の両辺を$x$で積分すると, \begin{eqnarray} \int ...

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2019/2/5

未整理-006

・オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\ \end{eqnarray} $I(a) = \int e^{iax} dx$ とする 1. $I(a)$ の積分を求め, $\int \cos ax\ dx ,\ \int \sin ax\ dx$を求めよ。解答 \begin{eqnarray} I(a)=\int e^{iax} dx =\int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \\ \end{eqnarray} を利 ...

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2019/2/5

未整理-005

・オイラーの公式オイラーの公式 \begin{eqnarray} e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\ \end{eqnarray} 1. オイラーの公式を用いて三角関数の2倍角の公式を導け。解答 \begin{eqnarray} (e^{ix})^2 &=& e^{2ix} \\ \end{eqnarray} を利用する。左辺について \begin{eqnarray} (e^{ix})^2 &=& (\cos x +i \sin x)^2 \\ &=& (\cos x)^2 ...

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2019/2/5

未整理-004

・積分計算 - 無限長ソレノイド - \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{2}{a^2} \end{eqnarray} この積分は$x=a \tan \theta$と置換をして計算します。下準備 \begin{eqnarray} x &=& a \tan \theta \\ dx &=& a \frac{1}{\cos^2 \theta} ...