物理数学 複素解析

オイラーの公式と加法定理

問題

(1) オイラーの公式
eix=cosx+isinx


を示せ。

(2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。


解答

(1) eixをべき級数展開すると、
eix=1+ix1!+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+(ix)77!+=1+ix1!+x22!+ix33!+x44!+ix55!+x66!+ix77!+=(1x22!+x44!x66!+)+i(xx33!+x55!x77!+)=cosx+isinx


となる。

(2) ei(α+β)=eiαeiβの両辺にオイラーの公式を用いる。
{eiα=cosα+isinαeiβ=cosβ+isinβ


であるから
eiαeiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ+cosαisinβ+isinαcosβ+isinαisinβ=cosαcosβsinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)

となる。
従って
ei(α+β)=eiαeiβcos(α+β)+isin(α+β)=cosαcosβsinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)

となり、実部と虚部を比較すると
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

となる。
同様にββと置き換えて考えると
cos(αβ)=cosαcosβ+sinαsinβsin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ

となる。

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