問題
(1) オイラーの公式
eix=cosx+isinx
を示せ。
(2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。
解答
(1) eixをべき級数展開すると、
eix=1+ix1!+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+(ix)66!+(ix)77!+⋯=1+ix1!+−x22!+−ix33!+x44!+ix55!+−x66!+−ix77!+⋯=(1−x22!+x44!−x66!+⋯)+i(x−x33!+x55!−x77!+⋯)=cosx+isinx
となる。
(2) ei(α+β)=eiαeiβの両辺にオイラーの公式を用いる。
{eiα=cosα+isinαeiβ=cosβ+isinβ
であるから
eiα⋅eiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ+cosαisinβ+isinαcosβ+isinαisinβ=cosαcosβ−sinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)
となる。
従って
ei(α+β)=eiαeiβcos(α+β)+isin(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ)
となり、実部と虚部を比較すると
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
となる。
同様にβを−βと置き換えて考えると
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
となる。