問題
3次元の直交座標系を考える。
ベクトルの成分を
→A=(Ax,Ay,Az)→B=(Bx,By,Bz)
とする。
(1) この2つのベクトルの外積が
→A×→B=(AyBz−AzByAzBx−AxBzAxBy−AyBx)
となることを示せ。
(2) 外積の大きさ|→A×→B|が、→Aと→Bがつくる平行四辺形の面積に等しいことを示せ。
解答
(1) x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトルをそれぞれ→i,→j,→kとすると、
→A=Ax→i+Ay→j+Az→k→B=Bx→i+By→j+Bz→k
となる。
よってベクトルの外積は、
→A×→B=(Ax→i+Ay→j+Az→k)×(Bx→i+By→j+Bz→k)=Ax→i×Bx→i+Ax→i×By→j+Ax→i×Bz→k+Ay→j×Bx→i+Ay→j×By→j+Ay→j×Bz→k+Az→k×Bx→i+Az→k×By→j+Az→k×Bz→k
ここで単位ベクトルに対して、
→i×→i=→j×→j=→k×→k=0→i×→j=→k, →j×→k=→i, →k×→i=→j
が成立する。
従って
→A×→B=AxBy→i×→j+AxBz→i×→k+AyBx→j×→i+AyBz→j×→k+AzBx→k×→i+AzBy→k×→j=AxBy→k+AxBz(−→j)+AyBx(−→k)+AyBz→i+AzBx→j+AzBy(−→i)=(AyBz−AzBy)→i+(AzBx−AxBz)→j+(AxBy−AyBx)→k=(AyBz−AzByAzBx−AxBzAxBy−AyBx)
となる。
(2)
|→A×→B|2=|(AyBz−AzByAzBx−AxBzAxBy−AyBx)|2=(AyBz−AzBy)2+(AzBx−AxBz)2+(AxBy−AyBx)2=A2yB2z+A2zB2y−2AyBzAzBy+A2zB2x+A2xB2z−2AzBxAxBz+A2xB2y+A2yB2x−2AxByAyBx=A2x(B2y+B2z)+A2y(B2x+B2z)+A2z(B2x+B2y)−2(AxByAyBx+AxBzAzBx+AyBzAzBy)=A2x(B2x+B2y+B2z)+A2y(B2x+B2y+B2z)+A2z(B2x+B2y+B2z)−(A2xB2x+A2yB2y+A2zB2z)−2(AxByAyBx+AxBzAzBx+AyBzAzBy)=(A2x+A2y+A2z)(B2x+B2y+B2z)−{(AxBx)2+(AyBy)2+(AzBz)2+2(AxBx)(AyBy)+2(AxBx)(AzBz)+2(AyBy)(AzBz)}=(A2x+A2y+A2z)(B2x+B2y+B2z)−(AxBx+AyBy+AzBz)2=|→A|2|→B|2−(→A⋅→B)2=|→A|2|→B|2−(|→A||→B|cosθ)2=|→A|2|→B|2−|→A|2|→B|2cos2θ=|→A|2|→B|2(1−cos2θ)=|→A|2|→B|2sin2θ
よって
|→A×→B|=|→A||→B|sinθ
となる。一方、→Aと→Bがつくる平行四辺形は
となるのでこの面積Sは
S=|→A||→B|sinθ
である。
従って、|→A×→B|は→Aと→Bがつくる平行四辺形の面積に等しい。