偏微分の状態方程式への利用

問題

理想気体の状態方程式は

$$\begin{align*} pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)} \end{align*}$$
と表される。
このとき
$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align*}$$
が成り立つことを示せ。

解答

状態方程式を変形すると

$$\begin{align*} V=\frac{nRT}{p} \end{align*}$$
となる。
ここで
$$\begin{align*} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{nRT}{p}\right)_p\\ &=\frac{nR}{p} \end{align*}$$
また
$$\begin{align*} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nRT}{p}\right)_T\\ &=-\frac{nRT}{p^2} \end{align*}$$
である。
よって
$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nR}{p}\right)\\ &=-\frac{nR}{p^2}\\ \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial T}\left(-\frac{nRT}{p^2}\right)\\ &=-\frac{nR}{p^2} \end{align*}$$
となる。
従って
$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T \end{align*}$$
が成立する。