偏微分の状態方程式への利用

問題

理想気体の状態方程式は
\begin{align*}
pV=nRT \qquad(n, R\mbox{は定数)}
\end{align*}
と表される。
このとき
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T
\end{align*}
が成り立つことを示せ。

解答

状態方程式を変形すると
\begin{align*}
V=\frac{nRT}{p}
\end{align*}
となる。
ここで
\begin{align*}
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{nRT}{p}\right)_p\\
&=\frac{nR}{p}
\end{align*}
また
\begin{align*}
\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nRT}{p}\right)_T\\
&=-\frac{nRT}{p^2}
\end{align*}
である。
よって
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p&=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{nR}{p}\right)\\
&=-\frac{nR}{p^2}\\
\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T&=\frac{\partial}{\partial T}\left(-\frac{nRT}{p^2}\right)\\
&=-\frac{nR}{p^2}
\end{align*}
となる。
従って
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T
\end{align*}
が成立する。