ベクトルの内積

問題

3次元の直交座標系を考える。
ベクトルの成分を

$$\begin{align*} \vec A&=(A_x, A_y, A_z)\\ \vec B&=(B_x, B_y, B_z) \end{align*}$$
とする。
この2つのベクトルの内積が
$$\begin{align*} \vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \end{align*}$$
となることを示せ。

解答

$x$軸, $y$軸, $z$軸方向の単位ベクトルをそれぞれ$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$とすると

$$\begin{align*} \vec A&=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k\\ \vec B&=B_x\vec i+B_y\vec j+B_z\vec k \end{align*}$$
となる。
よってベクトルの内積は
$$\begin{align*} \vec A\cdot\vec B=&(A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k)\cdot(B_x\vec i+B_y\vec j+B_z\vec k)\\ =&A_x\vec i\cdot B_x\vec i+A_x\vec i\cdot B_y\vec j+A_x\vec i\cdot B_z\vec k+\\ &A_y\vec j\cdot B_x\vec i+A_y\vec j\cdot B_y\vec j+A_y\vec j\cdot B_z\vec k+\\ &A_z\vec k\cdot B_x\vec i+A_z\vec k\cdot B_y\vec j+A_z\vec k\cdot B_z\vec k \end{align*}$$
ここで単位ベクトルに対して
$$\begin{align*} \vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec k\cdot\vec i=0\\ \vec i\cdot\vec i=\vec j\cdot\vec j=\vec k\cdot\vec k=1 \end{align*}$$
が成立する。（$\cos90^\circ=0$, $\cos0=1$）
従って
$$\begin{align*} \vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z \end{align*}$$
となる。