未整理-004

・ 積分計算 - 無限長ソレノイド -

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx = \frac{2}{a^2} \end{eqnarray}$$

この積分は$x=a \tan \theta$と置換をして計算します。

下準備

$$\begin{eqnarray} x &=& a \tan \theta \\ dx &=& a \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ \end{eqnarray}$$

また、三角関数の関係式$\ \tan^2 \theta +1 = \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \ $も利用します。

$$\begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2 +a^2)^{\frac{3}{2}}}dx &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta} {[(a \tan \theta)^2 +a^2]^{\frac{3}{2}}}\\ & & \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta} {[a^2 (\tan^2 \theta+1) ]^{\frac{3}{2}}}\\ & & \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta} {\left(a^2 \displaystyle \frac{1}{\cos^2 \theta} \right)^{\frac{3}{2}}}\\ & & \\ &=& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\displaystyle \frac{a}{\cos^2 \theta} d\theta} {\displaystyle \frac{a^3}{\cos^3 \theta}}\\ \\ &=& \frac{1}{a^2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta\ d\theta \\ \\ &=& \frac{1}{a^2} \Bigl[ \sin \theta \Bigr]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\ \\ &=& \frac{1}{a^2} \left[ \sin \frac{\pi}{2} -\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right]\\ \\ &=&\frac{2}{a^2} \end{eqnarray}$$

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。