ド・モアブルの定理の導出

問題

オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理

\begin{eqnarray*}
\cos nx + i \sin nx = (\cos x +i\sin x)^n
\end{eqnarray*}

を導出せよ。

解答

$e^{inx}$を考えると、

\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& (e^{ix})^n \\
\\
&=& (\cos x +i\sin x)^n \\
\end{eqnarray*}

となる。
一方

\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& e^{i(nx)} \\
\\
&=& \cos nx +i\sin nx \\
\end{eqnarray*}

となる。
従って

\begin{eqnarray*}
e^{inx} &=& \cos nx +i\sin nx = (\cos x +i\sin x)^n \\
\end{eqnarray*}

が得られる。