年別アーカイブ：2020年

2020/2/26

ガンマ関数

問題ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \end{eqnarray*} で定義される。以下の問いに答えよ。 (1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。 (2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。 (3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。 (4 ...

微分・積分熱・統計力学物理数学

2020/2/26

偏微分の関係式の導出

問題以下の関係式を導出せよ。 (1) $\displaystyle \left( \frac{\partial Z}{\partial X} \right)_Y = \left( \frac{\partial X}{\partial Z} \right)^{-1}_Y$ (2) $\displaystyle \left( \frac{\partial X}{\partial Y} \right)_Z \left( \frac{\partial Y}{\partial Z} \right)_X \left ...

物理学電磁気学

2020/2/19

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。 (1) この球の中心からの距離$r \ (\ge R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (2) この球の中心からの距離$r \ (\le R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (3) 球の内外につくる静電場を距離$r$の関数としてグラフを書け。解答 (1) $r \ (\ge R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。このとき、閉曲面内の電気 ...

物理学電磁気学

2020/2/19

一様に帯電した球が作る電場

問題一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。 (1) この球の中心からの距離$r \ (\ge R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (2) この球の中心からの距離$r \ (\le R)$での電場の大きさ$E(r)$を求めよ。 (3) 球の内外につくる静電場を距離$r$の関数としてグラフを書け。解答 (1) $r \ (\ge R)$の場合、ガウスの法則を適用する閉曲面を図のように半径$r$の球(赤の点線)を想定する。このとき、閉曲面内の電気量$Q$は ...

物理学電磁気学

2020/2/19

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に長い直線上に電荷が分布している。以下の方法を用いて直線から距離$R$の位置での電場を求めよ。但し、線の太さは無視できるものとする。 (1) クーロンの法則を用いて電場を求めよ。 (2) ガウスの法則を用いて電場を求めよ。解答 (1) クーロンの法則を適用するために、直線の一部を微小部分$\diff x$を設定する。この微小部分$\diff x$が作る電場を計算し、全区間に対して積分を行うとする。微小部分$\diff x$の電気量$\di ...

物理数学複素解析

2020/2/12

ド・モアブルの定理の導出

問題オイラーの公式$e^{ix}=\cos x +i\sin x$を用いてド・モアブルの定理 \begin{eqnarray*} \cos nx + i \sin nx = (\cos x +i\sin x)^n \end{eqnarray*} を導出せよ。解答 $e^{inx}$を考えると、 \begin{eqnarray*} e^{inx} &=& (e^{ix})^n \\ \\ &=& (\cos x +i\sin x)^n \\ \end{eqnarray*} となる。一方 \begin{ ...

力学物理学

2024/9/2

力のモーメントの計算

問題以下の図に力$\vec{F}$が作用した場合の力のモーメント$\vec{M}$を計算し、力のモーメントの大きさ$|\vec{M}|$を求めよ。但し、棒の質量は無視できるものとする。 (1) 棒の長さ$x, \ $棒と作用する力は直交する場合。 (2) 棒の長さ$x, \ $棒と作用する力のなす角は$\theta$の場合。 (3) 棒の長さ$r, \ $作用する力$\vec{F}$の$x,y$成分を$F_x ,\ F_y $とする場合。解答 (1) 位置ベクトル$\vec{r}_1$を図のように設定 ...

力学微分方程式物理学

2020/2/11

単振動の変位と速度、加速度の関係

問題単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) = A \sin (\omega t) \end{eqnarray*} と表されているとき以下の問に答えよ。 (1) 速度 $v$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (2) 加速度 $a$ と変位 $y$ の関係を表わせ。 (3) 単振動は運動方程式 $\ddot{y}+\omega ^2 y =0$ を満たすことを示せ。解答 (1) 速度$v$は \begin{eqnarray*} v = \frac{\diff y} ...

力学物理学

2020/2/11

単振り子のエネルギー保存

問題質量$m$の物体が長さ$l$の糸につるされている。この物体の単振り子運動においてエネルギー保存則が成立することを運動方程式から導け。解答極座標で表した運動方程式は糸の張力を$S$とすると \begin{align*} \begin{cases} ml\left(\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)^2=S-mg\cos\theta\\ ml\frac{\diff^2\theta}{\diff t^2}=-mg\sin\theta \end{cases} \en ...

物理数学複素解析

2020/2/11

オイラーの公式と加法定理

問題 (1) オイラーの公式 \begin{align*} e^{ix}=\cos x+i\sin x \end{align*} を示せ。 (2) オイラーの公式を使って加法定理を導け。解答 (1) $e^{ix}$をべき級数展開すると、 \begin{align*} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac ...

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