・ オイラーの公式
eix=cosx+isinx
I(a)=∫eiaxdx とする
1. I(a) の積分を求め, ∫cosax dx, ∫sinax dxを求めよ。
解答
I(a)=∫eiaxdx=∫(cosax+isinax) dx
を利用する。
∫eiaxdx=1iaeiax=1ia(cosax+isinax)=1ia(cosax+isinax)×ii=−ia(cosax+isinax)=1asinax+i(−1acosax)
一方、
∫(cosax+isinax) dx=∫cosax dx+i∫sinax dx
であるから
実部 : ∫cosax dx=1asinax虚部 : ∫sinax dx=−1acosax
となる。
2. I(a)=∫eiaxdx の両辺をaで微分することにより, ∫xcosax dx, ∫xsinax dxを求めよ。
解答
dda[I(a)]=dda[∫eiaxdx]=dda[∫(cosax+isinax) dx]
を利用する。
dda[∫eiaxdx]=∫dda(eiax)dx=∫(ix) eiaxdx=i∫xeiaxdx=i(x1iaeiax−∫1iaeiaxdx)=xaeiax−1a∫eiaxdx=xaeiax−1a1iaeiax=(xa+ia2)eiax=(xa+ia2)(cosax+isinax)=xacosax+xaisinax+ia2cosax+ia2isinax=xacosax−1a2sinax+i(1a2cosax+xasinax)
一方、
dda[∫(cosax+isinax) dx]=∫dda(cosax) dx+i∫dda(sinax) dx=∫x(−sinax) dx+i∫xcosax dx=−∫xsinax dx+i∫xcosax dx
であるから
実部 : ∫xsinax dx=1a2sinax−xacosax虚部 : ∫xcosax dx=1a2cosax+xasinax
となる。
3. I(a)=∫eiaxdx の両辺をaで二階微分することにより, ∫x2cosax dx, ∫x2sinax dxを求めよ。
解答
d2da2[I(a)]=d2da2[∫eiaxdx]=d2da2[∫(cosax+isinax) dx]
を利用する。
d2da2[∫eiaxdx]=∫d2da2(eiax)dx=∫(ix)2 eiaxdx=−∫x2eiaxdx=−(x21iaeiax−∫2x1iaeiaxdx)=−(x2iaeiax−2ia∫xeiaxdx)=−x2iaeiax+2ia∫xeiaxdx=−x2iaeiax+2ia(x1iaeiax−∫1iaeiaxdx)=−x2iaeiax+2iaxiaeiax−2ia1ia∫eiaxdx=−x2iaeiax−2xa2eiax+2a21iaeiax=ix2aeiax−2xa2eiax−2ia3eiax=(ix2a−2xa2−2ia3)eiax=(ix2a−2xa2−2ia3)(cosax+isinax)=[(x2a−2a3)i−2xa2]cosax+[(x2a−2a3)i−2xa2]isinax=−2xa2cosax−(x2a−2a3)sinax+i[(x2a−2a3)cosax−2xa2sinax]
一方、
d2da2[∫(cosax+isinax) dx]=∫d2da2(cosax) dx+i∫d2da2(sinax) dx=∫x2(−cosax) dx+i∫x2(−sinax) dx=−∫x2cosax dx+i(−∫x2sinax dx)
であるから
実部 : ∫x2cosax dx=2xa2cosax+(x2a−2a3)sinax虚部 : ∫x2sinax dx=2xa2sinax−(x2a−2a3)cosax
となる。
4. 積分∫xncosax dx, ∫xnsinax dxをI(a)を用いて表わせ。
解答
dndan[I(a)]=dndan[∫eiaxdx]=∫dndaneiaxdx=∫(ix)neiaxdx=(i)n∫xneiaxdx=(i)n∫xn(cosax+isinax) dx=(i)n(∫xncosax dx+i∫xnsinax dx)
従って、
(∫xncosax dx+i∫xnsinax dx)=1(i)ndndan[I(a)]=(−i)ndndan[I(a)]
となる。
実部 : ∫xncosax dx=Re[(−i)ndndan[I(a)]]虚部 : ∫xnsinax dx=Im[(−i)ndndan[I(a)]]
と表される。
5. I(a,b)=∫e(b+ia)xdx とする。I(a,b)をつかって∫ebxcosax dx, ∫ebxsinax dxを求めよ。
解答
I(a,b)=∫e(b+ia)xdx=∫ebx eiaxdx
を利用する。
∫e(b+ia)xdx=1b+iae(b+ia)x=1b+iaebxeiax=1b+iab−iab−iaebxeiax=b−iab2+a2ebxeiax=b−iaa2+b2ebx(cosax+isinax)=ebxa2+b2[(b−ia)(cosax+isinax)]=ebxa2+b2(bcosax+ibsinax−iacosax+asinax)=ebxa2+b2(bcosax+asinax)+i[ebxa2+b2(bsinax−acosax)]
一方、
∫ebx eiaxdx=∫ebx (cosax+isinax)dx=∫ebxcosax dx+i∫ebx sinax dx
であるから
実部 : ∫ebxcosax dx=ebxa2+b2(bcosax+asinax)虚部 : ∫ebxsinax dx=ebxa2+b2(bsinax−acosax)
となる。
注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。