未整理-006

・ オイラーの公式

$$\begin{eqnarray} e^{ix} &=& \cos x +i\sin x \\ \end{eqnarray}$$

$I(a) = \int e^{iax} dx$ とする

1. $I(a)$ の積分を求め, $\int \cos ax\ dx ,\ \int \sin ax\ dx$を求めよ。

解答

$$\begin{eqnarray} I(a)=\int e^{iax} dx =\int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \\ \end{eqnarray}$$

を利用する。

$$\begin{eqnarray} \int e^{iax} dx &=& \frac{1}{ia}e^{iax} \\ \\ &=& \frac{1}{ia}(\cos ax +i \sin ax) \\ \\ &=& \frac{1}{ia}(\cos ax +i \sin ax) \times \frac{i}{i} \\ \\ &=& -\frac{i}{a}(\cos ax +i \sin ax) \\ \\ &=& \frac{1}{a} \sin ax +i \left( -\frac{1}{a} \cos ax \right) \end{eqnarray}$$

一方、

$$\begin{eqnarray} \int (\cos ax +i \sin ax)\ dx &=& \int \cos ax\ dx +i \int \sin ax\ dx \end{eqnarray}$$

であるから

$$\begin{eqnarray} &\mbox{実部 :}&\ \int \cos ax\ dx = \frac{1}{a} \sin ax \\ &\mbox{虚部 :}&\ \int \sin ax\ dx = -\frac{1}{a} \cos ax \end{eqnarray}$$

となる。

2. $I(a) = \int e^{iax} dx$ の両辺を$a$で微分することにより, $\int x \cos ax\ dx ,\ \int x \sin ax\ dx$を求めよ。

解答

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff a} \left[ I(a)\right] = \frac{\diff}{\diff a} \left[ \int e^{iax} dx \right] =\frac{\diff}{\diff a} \left[ \int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \right]\\ \end{eqnarray}$$

を利用する。

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff a} \left[ \int e^{iax} dx \right] &=& \int \frac{\diff}{\diff a} \left( e^{iax}\right) dx \\ \\ &=& \int (ix)\ e^{iax} dx \\ \\ &=& i \int x e^{iax} dx \\ \\ &=& i \left( x \frac{1}{ia} e^{iax} - \int \frac{1}{ia} e^{iax} dx \right)\\ \\ &=& \frac{x}{a} e^{iax} - \frac{1}{a} \int e^{iax} dx\\ \\ &=& \frac{x}{a} e^{iax} - \frac{1}{a} \frac{1}{ia} e^{iax} \\ \\ &=& \left( \frac{x}{a}+ \frac{i}{a^2} \right) e^{iax} \\ \\ &=& \left( \frac{x}{a}+ \frac{i}{a^2} \right) (\cos ax +i \sin ax) \\ \\ &=& \frac{x}{a} \cos ax + \frac{x}{a} i \sin ax + \frac{i}{a^2} \cos ax +\frac{i}{a^2} i \sin ax \\ \\ &=& \frac{x}{a} \cos ax - \frac{1}{a^2} \sin ax + i \left( \frac{1}{a^2} \cos ax + \frac{x}{a} \sin ax \right) \end{eqnarray}$$

一方、

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff}{\diff a} \left[ \int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \right] &=& \int \frac{\diff}{\diff a} \left( \cos ax \right) \ dx + i \int \frac{\diff}{\diff a} (\sin ax)\ dx \\ \\ &=& \int x (-\sin ax)\ dx + i \int x \cos ax\ dx \\ \\ &=& -\int x \sin ax\ dx + i \int x \cos ax\ dx \\ \end{eqnarray}$$

であるから

$$\begin{eqnarray} &\mbox{実部 :}&\ \int x \sin ax\ dx = \frac{1}{a^2} \sin ax -\frac{x}{a} \cos ax\\ &\mbox{虚部 :}&\ \int x \cos ax\ dx = \frac{1}{a^2} \cos ax + \frac{x}{a} \sin ax \end{eqnarray}$$

となる。

3. $I(a) = \int e^{iax} dx$ の両辺を$a$で二階微分することにより, $\int x^2 \cos ax\ dx ,\ \int x^2 \sin ax\ dx$を求めよ。

解答

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff ^2}{\diff a^2} \left[ I(a)\right] = \frac{\diff^2}{\diff a^2} \left[ \int e^{iax} dx \right] =\frac{\diff^2}{\diff a^2} \left[ \int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \right]\\ \end{eqnarray}$$

を利用する。

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff^2}{\diff a^2} \left[ \int e^{iax} dx \right] &=& \int \frac{\diff^2}{\diff a^2} \left( e^{iax}\right) dx \\ \\ &=& \int (ix)^2\ e^{iax} dx \\ \\ &=& - \int x^2 e^{iax} dx \\ \\ &=& - \left( x^2 \frac{1}{ia} e^{iax} - \int 2x \frac{1}{ia} e^{iax} dx \right)\\ \\ &=& - \left( \frac{x^2}{ia} e^{iax} - \frac{2}{ia} \int x e^{iax} dx \right)\\ \\ &=& -\frac{x^2}{ia} e^{iax} + \frac{2}{ia} \int x e^{iax} dx \\ \\ &=& -\frac{x^2}{ia} e^{iax} + \frac{2}{ia} \left( x \frac{1}{ia} e^{iax} - \int \frac{1}{ia} e^{iax} dx \right)\\ \\ &=& -\frac{x^2}{ia} e^{iax} + \frac{2}{ia} \frac{x}{ia} e^{iax} - \frac{2}{ia} \frac{1}{ia} \int e^{iax} dx \\ \\ &=& -\frac{x^2}{ia} e^{iax} - \frac{2x}{a^2} e^{iax} + \frac{2}{a^2} \frac{1}{ia} e^{iax} \\ \\ &=& \frac{ix^2}{a} e^{iax} - \frac{2x}{a^2} e^{iax} - \frac{2i}{a^3} e^{iax} \\ \\ &=& \left( \frac{ix^2}{a}- \frac{2x}{a^2} - \frac{2i}{a^3} \right) e^{iax}\\ \\ &=& \left( \frac{ix^2}{a}- \frac{2x}{a^2} - \frac{2i}{a^3} \right) (\cos ax +i \sin ax)\\ \\ &=& \left[ \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) i - \frac{2x}{a^2} \right] \cos ax + \left[ \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) i - \frac{2x}{a^2} \right] i \sin ax \\ \\ &=& -\frac{2x}{a^2} \cos ax - \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) \sin ax + i \left[ \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) \cos ax - \frac{2x}{a^2} \sin ax \right] \end{eqnarray}$$

一方、

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff^2}{\diff a^2} \left[ \int (\cos ax +i \sin ax)\ dx \right] &=& \int \frac{\diff^2}{\diff a^2} \left( \cos ax \right) \ dx + i \int \frac{\diff^2}{\diff a^2} (\sin ax)\ dx \\ \\ &=& \int x^2 (-\cos ax)\ dx + i \int x^2 (-\sin ax)\ dx \\ \\ &=& -\int x^2 \cos ax\ dx + i \left( - \int x^2 \sin ax\ dx \right)\\ \end{eqnarray}$$

であるから

$$\begin{eqnarray} &\mbox{実部 :}&\ \int x^2 \cos ax\ dx = \frac{2x}{a^2} \cos ax + \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) \sin ax\\ &\mbox{虚部 :}&\ \int x^2 \sin ax\ dx = \frac{2x}{a^2} \sin ax - \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2}{a^3} \right) \cos ax \end{eqnarray}$$

となる。

4. 積分$\int x^n \cos ax\ dx ,\ \int x^n \sin ax\ dx$を$I(a)$を用いて表わせ。

解答

$$\begin{eqnarray} \frac{\diff ^n}{\diff a^n} \left[ I(a)\right] &=& \frac{\diff^n}{\diff a^n} \left[ \int e^{iax} dx \right] \\ \\ &=& \int \frac{\diff ^n}{\diff a^n} e^{iax} dx \\ \\ &=& \int (ix)^n e^{iax} dx \\ \\ &=& (i)^n \int x^n e^{iax} dx \\ \\ &=& (i)^n \int x^n (\cos ax +i \sin ax)\ dx \\ \\ &=& (i)^n \left( \int x^n \cos ax\ dx +i \int x^n \sin ax\ dx \right) \end{eqnarray}$$

従って、

$$\begin{eqnarray} \left( \int x^n \cos ax\ dx +i \int x^n \sin ax\ dx \right) &=& \frac{1}{(i)^n} \frac{\diff ^n}{\diff a^n} \left[ I(a)\right] \\ \\ &=& (-i)^n\frac{\diff ^n}{\diff a^n} \left[ I(a)\right] \\ \end{eqnarray}$$

となる。

$$\begin{eqnarray} &\mbox{実部 :}&\ \int x^n \cos ax\ dx = Re \left[ (-i)^n\frac{\diff ^n}{\diff a^n} \left[ I(a)\right] \right]\\ &\mbox{虚部 :}&\ \int x^n \sin ax\ dx = Im \left[ (-i)^n\frac{\diff ^n}{\diff a^n} \left[ I(a)\right] \right]\\ \end{eqnarray}$$

と表される。

5. $I(a,b) = \int e^{(b+ia)x} dx$ とする。$I(a,b)$をつかって$\int e^{bx} \cos ax\ dx ,\ \int e^{bx} \sin ax\ dx$を求めよ。

解答

$$\begin{eqnarray} I (a,b)=\int e^{(b+ia)x} dx &=& \int e^{bx}\ e^{iax} dx \end{eqnarray}$$

を利用する。

$$\begin{eqnarray} \int e^{(b+ia)x} dx &=& \frac{1}{b+ia} e^{(b+ia)x} \\ \\ &=& \frac{1}{b+ia} e^{bx}e^{iax} \\ \\ &=& \frac{1}{b+ia} \frac{b-ia}{b-ia} e^{bx}e^{iax} \\ \\ &=& \frac{b-ia}{b^2+a^2} e^{bx}e^{iax} \\ \\ &=& \frac{b-ia}{a^2+b^2} e^{bx}(\cos ax +i \sin ax) \\ \\ &=& \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} \left[ (b-ia)(\cos ax +i \sin ax) \right]\\ \\ &=& \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} ( b\cos ax +i b\sin ax - i a \cos ax +a \sin ax ) \\ \\ &=& \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} (b\cos ax +a \sin ax ) +i \left[ \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} (b\sin ax - a \cos ax) \right] \end{eqnarray}$$

一方、

$$\begin{eqnarray} \int e^{bx}\ e^{iax} dx &=& \int e^{bx}\ (\cos ax +i \sin ax) dx\\ \\ &=& \int e^{bx}\cos ax\ dx+i \int e^{bx}\ \sin ax\ dx\\ \end{eqnarray}$$

であるから

$$\begin{eqnarray} &\mbox{実部 :}&\ \int e^{bx}\cos ax\ dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} (b\cos ax +a \sin ax ) \\ &\mbox{虚部 :}&\ \int e^{bx}\sin ax\ dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2} (b\sin ax - a \cos ax) \end{eqnarray}$$

となる。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。