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未整理-006

・ オイラーの公式

eix=cosx+isinx

I(a)=eiaxdx とする

1. I(a) の積分を求め, cosax dx, sinax dxを求めよ。

解答

I(a)=eiaxdx=(cosax+isinax) dx

を利用する。

eiaxdx=1iaeiax=1ia(cosax+isinax)=1ia(cosax+isinax)×ii=ia(cosax+isinax)=1asinax+i(1acosax)

一方、

(cosax+isinax) dx=cosax dx+isinax dx

であるから

実部 : cosax dx=1asinax虚部 : sinax dx=1acosax

となる。

2. I(a)=eiaxdx の両辺をaで微分することにより, xcosax dx, xsinax dxを求めよ。

解答

dda[I(a)]=dda[eiaxdx]=dda[(cosax+isinax) dx]

を利用する。

dda[eiaxdx]=dda(eiax)dx=(ix) eiaxdx=ixeiaxdx=i(x1iaeiax1iaeiaxdx)=xaeiax1aeiaxdx=xaeiax1a1iaeiax=(xa+ia2)eiax=(xa+ia2)(cosax+isinax)=xacosax+xaisinax+ia2cosax+ia2isinax=xacosax1a2sinax+i(1a2cosax+xasinax)

一方、

dda[(cosax+isinax) dx]=dda(cosax) dx+idda(sinax) dx=x(sinax) dx+ixcosax dx=xsinax dx+ixcosax dx

であるから

実部 : xsinax dx=1a2sinaxxacosax虚部 : xcosax dx=1a2cosax+xasinax

となる。

3. I(a)=eiaxdx の両辺をaで二階微分することにより, x2cosax dx, x2sinax dxを求めよ。

解答

d2da2[I(a)]=d2da2[eiaxdx]=d2da2[(cosax+isinax) dx]

を利用する。

d2da2[eiaxdx]=d2da2(eiax)dx=(ix)2 eiaxdx=x2eiaxdx=(x21iaeiax2x1iaeiaxdx)=(x2iaeiax2iaxeiaxdx)=x2iaeiax+2iaxeiaxdx=x2iaeiax+2ia(x1iaeiax1iaeiaxdx)=x2iaeiax+2iaxiaeiax2ia1iaeiaxdx=x2iaeiax2xa2eiax+2a21iaeiax=ix2aeiax2xa2eiax2ia3eiax=(ix2a2xa22ia3)eiax=(ix2a2xa22ia3)(cosax+isinax)=[(x2a2a3)i2xa2]cosax+[(x2a2a3)i2xa2]isinax=2xa2cosax(x2a2a3)sinax+i[(x2a2a3)cosax2xa2sinax]

一方、

d2da2[(cosax+isinax) dx]=d2da2(cosax) dx+id2da2(sinax) dx=x2(cosax) dx+ix2(sinax) dx=x2cosax dx+i(x2sinax dx)

であるから

実部 : x2cosax dx=2xa2cosax+(x2a2a3)sinax虚部 : x2sinax dx=2xa2sinax(x2a2a3)cosax

となる。

4. 積分xncosax dx, xnsinax dxI(a)を用いて表わせ。

解答

dndan[I(a)]=dndan[eiaxdx]=dndaneiaxdx=(ix)neiaxdx=(i)nxneiaxdx=(i)nxn(cosax+isinax) dx=(i)n(xncosax dx+ixnsinax dx)

従って、

(xncosax dx+ixnsinax dx)=1(i)ndndan[I(a)]=(i)ndndan[I(a)]

となる。
実部 : xncosax dx=Re[(i)ndndan[I(a)]]虚部 : xnsinax dx=Im[(i)ndndan[I(a)]]

と表される。

5. I(a,b)=e(b+ia)xdx とする。I(a,b)をつかってebxcosax dx, ebxsinax dxを求めよ。

解答

I(a,b)=e(b+ia)xdx=ebx eiaxdx

を利用する。

e(b+ia)xdx=1b+iae(b+ia)x=1b+iaebxeiax=1b+iabiabiaebxeiax=biab2+a2ebxeiax=biaa2+b2ebx(cosax+isinax)=ebxa2+b2[(bia)(cosax+isinax)]=ebxa2+b2(bcosax+ibsinaxiacosax+asinax)=ebxa2+b2(bcosax+asinax)+i[ebxa2+b2(bsinaxacosax)]

一方、

ebx eiaxdx=ebx (cosax+isinax)dx=ebxcosax dx+iebx sinax dx

であるから

実部 : ebxcosax dx=ebxa2+b2(bcosax+asinax)虚部 : ebxsinax dx=ebxa2+b2(bsinaxacosax)

となる。

注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。

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