・ 部分積分法の証明
2つの関数$f(x),\ g(x)$について
2つの関数の積を$x$で微分すると, 合成関数の微分なので
\begin{eqnarray}
\frac{\diff}{\diff x} \left[ f(x) g(x)\right] = \frac{\diff f(x)}{\diff x} g(x) +f(x)\frac{\diff g(x)}{\diff x}
\end{eqnarray}
となります。
この式の両辺を$x$で積分すると,
\begin{eqnarray}
\int \frac{\diff}{\diff x} \left[ f(x) g(x)\right] dx &=& \int \frac{\diff f(x)}{\diff x} g(x)\ dx+\int f(x)\frac{\diff g(x)}{\diff x}dx \\
\\
f(x)g(x)&=&\int f'(x)g(x) dx+ \int f(x) g'(x) dx \\
\\
\int f(x) g'(x) dx &=& f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx
\end{eqnarray}
となり, 公式が導かれます。
ど忘れしたときは, 合成関数の微分から導くことができるので安心です。
この部分積分の有用な部分は, 最後の式の第2項$\displaystyle \int f'(x)g(x) dx$ がポイントで, $f'(x)$ と微分することにより$f(x)$ の次数を落とすことができます。複数回使えば, (例えば$x^2 \to x \to 1$) 係数はともかく, 最終的に$\displaystyle \int g(x) dx$ まで落とし込むことができます。
注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。