ガンマ関数

問題

ガンマ関数$\Gamma (z)$は

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \end{eqnarray*}$$

で定義される。
以下の問いに答えよ。

(1) $\Gamma (1)$の値を計算せよ。

(2) $\Gamma \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)$の値を計算せよ。

(3) $\Gamma (z+1) = z\Gamma (z)$を示せ。

(4) $n$を自然数として$\Gamma (n+1)$を求めよ。

解答

(1)

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{1-1} \diff x \\ \\ &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} \diff x \\ \\ &=& \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{\infty} \\ \\ &=& -e^{-\infty}-(-e^{- \cdot 0}) \\ \\ &=& 1 \end{eqnarray*}$$

(2)

$$\begin{eqnarray*} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\frac{1}{2}-1} \diff x \\ \end{eqnarray*}$$

ここで、$\displaystyle x^{\frac{1}{2}}=t$とおくと

$$\begin{eqnarray*} \frac{\diff}{\diff x} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) &=& \frac{\diff t}{\diff x} \\ \\ \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} &=& \frac{\diff t}{\diff x} \\ \\ \diff x &=& \frac{\diff t}{\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}} \\ \\ \diff x &=& 2 x^{\frac{1}{2}} \diff t \\ \\ \diff x &=& 2t \diff t \end{eqnarray*}$$

であるから

$$\begin{eqnarray*} \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{\frac{1}{2}-1} \diff x \\ \\ &=& \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} \cdot \frac{1}{t} \cdot 2t \diff t \\ \\ &=& 2 \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} \diff t \\ \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \diff t \quad (\text{ガウス積分}) \\ \\ &=& \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$$
となる。

(3)

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (z+1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{(z+1)-1} \diff x \\ \\ &=& \int_{0}^{\infty} x^{z} e^{-x} \diff x \\ \\ &=& \left[ x^z (-e^{-x} ) \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} z x^{z-1} e^{-x} \diff x \\ \\ &=& z \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{z-1} \diff x \\ \\ &=& z \Gamma (z) \end{eqnarray*}$$

(4)

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (n+1) &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n} \diff x = n \Gamma (n) \\ \end{eqnarray*}$$

であるから、自然数$n$に対して

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (n+1) &=& n \Gamma (n) \\ \\ \Gamma (n) &=& (n-1) \Gamma (n-1) \\ \\ \Gamma (n-1) &=& (n-2) \Gamma (n-2) \\ \\ & \vdots & \\ \\ \Gamma (2) &=& \Gamma (1) \\ \\ \Gamma (1) &=& 1 \\ \end{eqnarray*}$$

が成り立つ。
従って、

$$\begin{eqnarray*} \Gamma (n+1) &=& n \Gamma (n) \\ \\ &=& n (n-1) \Gamma (n-1) \\ \\ &=& n (n-1) (n-2) \Gamma (n-2) \\ \\ &=& n (n-1) (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \Gamma(1) \\ \\ &=& n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1\\ \\ &=& n! \\ \end{eqnarray*}$$
となる。