・ 自由落下〜エネルギー保存則
図のように上向きを正に軸を取ると、運動方程式は
\begin{eqnarray}
ma &=& -mg \\
\\
m \frac{\diff v}{\diff t} &=& -mg
\end{eqnarray}
ここで、両辺に速度 $\displaystyle
v=\frac{\diff x}{\diff t}$ をかけると,
\begin{eqnarray}
m \frac{\diff v}{\diff t} \color{blue} v &=& -mg \frac{\color{blue} \diff \color{blue}x}{\color{blue} \diff \color{blue} t} \\
\\
\frac{\diff }{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2\right) &=& \frac{\diff }{\diff t} \left( -mgx \right) \\
\\
\frac{\diff }{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2 +mgx \right)&=& 0
\end{eqnarray}
となる。
即ち、「運動エネルギー $K(t)=\displaystyle \frac{1}{2} mv^2(t)$と位置エネルギー $U(t) = mgx(t)$ の和である力学的エネルギー $E(t)$ は時間に対して一定である。」と言え, 保存している。
「保存している」とは何か？
・時間的に変化しない
・$t$ を含む関数ではなく, 時間に対して定数である。
つまり、その物理量を時間で微分すれば $0$ になるはずで, $t$ で微分する前は $t$ に対して定数であると言える。
「保存している」ことを示す方法は複数あるが、「$t$ で微分したら $0$ 」から示す方法も押さえておくと良いでしょう。
補足-1
左辺の $\displaystyle m \frac{\diff v}{\diff t} v $ の式変形について
式変形後の$\displaystyle \frac{\diff }{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2\right)$を計算すると
\begin{eqnarray}
\frac{\diff }{\diff t} \left( \frac{1}{2} mv^2\right) &=& \frac{1}{2} m \frac{\diff }{\diff t} \left( v^2\right) \\
\\
&=& \frac{1}{2} m \cdot 2v \frac{\diff v}{\diff t} \\
\\
&=& mv \frac{\diff v}{\diff t}
\end{eqnarray}
となり, 最初の部分に一致します。
作業としては, $v$ を微分の中に入れることになります。
微分と積分は逆演算の関係なので、微分して元に戻ればOKということです。
思考回路としては, 微分して $v$ が出てくるには、微分の中には $v^2$ が必要だろう。
試しに、$v^2$ を $t$ で微分してみると
\begin{eqnarray}
\frac{\diff }{\diff t} \left( v^2\right) &=& 2v \frac{\diff v}{\diff t} \\
\end{eqnarray}
となるので, 元の式と比較すると, $2$ が余分になるから $\displaystyle \frac{1}{2}$ をしておけば相殺できる。
あとは定数 $m$ を付け足しておけば・・・。
みたいに考えて計算します。
補足-2
速度 $\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$ をかける意味
この計算は「単位時間あたりの変位をかけた」ことになります。
従って、
この式は「単位時間あたりの仕事とエネルギーの関係式」を表しています。
注) このページは物理な内容を淡々と描くものです。過度な期待はしないで下さい。