極座標

2024/9/5

単振り子の近似

問題質量 $m$ の物体が長さ $L$ の糸で吊るされている。物体を鉛直線を基準に振れ角 $\theta_0$ で静かに手放した。この時の鉛直線からの距離を $A_0$ とする。以下の問いに答えよ。但し、振れ角 $\theta_0$ は十分に小さく、 $A_0 \ll L$ とする。 (1) 物体の運動方程式を記述せよ。 (2) 物体の運動を単振り子とみなしたとき、周期 $T$ 、振幅 $A$ を求めよ。 (3) 物体を手放した時刻を $t=0$ として、最下点を初めて通過する時刻 $t_1$ を求めよ。 (4) 物体の位置 $x(t)$ を$ ...

力学物理学

2024/9/5

非等速円運動

問題図のように、円の一部を軌道として運動するモデルを考える。物体を糸の水平状態(点A)にして放し、円運動させ、点B(最下点)を通過し、点Cまで達した。運動中、糸は弛まず質量は無視できるほど軽いとする。糸の長さ $l$ 、物体の質量 $m$ として以下の問いに答えよ。但し、重力加速度は $g$ とする。又、ある時刻 $t$ での糸と鉛直線のなす角を $\theta$ として用いてよいとする。 (1) $r$ 方向、 $\theta$ 方向の加速度を $a_r, a_\theta$ としたとき、それぞれの方向の運動方程式を記述せよ ...

力学物理学

2020/2/11

単振り子の運動

問題質量 $m$ の物体が長さ $l\$ の糸につるされている。この物体の単振り子運動について以下の問いに答えよ。 (1) 極座標を考えたとき、 $r$ 方向と $\theta$ 方向の運動方程式を立てよ。 (2) 振れ角 $\theta$ が十分に小さいとき $\sin\theta\simeq\theta$ が成立する。 $\ \ \ \ \$ この時の運動の周期 $T$ を求めよ。 (3) 物体を十分小さな角 $\theta_0$ の地点から $t=0$ で運動させたとする。 $\ \ \ \ \$ この運動に置いて振れ角$\th ...

力学物理学

2020/2/11

極座標の加速度

問題極座標の平面を考える。加速度 $\vec{a}$ において $r$ 方向の加速度 $a_r$ と $\theta$ 方向の加速度 $a_\theta$ を求めよ。解答 $a_r,a_\theta$ を $a_x,a_y$ を用いて表すと、

$\begin{align*} a_r=&a_x\cos\theta+a_y\sin\theta\\ a_\theta=&-a_x\sin\theta+a_y\cos\theta \end{align*}$ となる。ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r ...

力学物理学

2020/2/11

極座標の速度

問題極座標の平面を考える。速度 $\vec{v}$ において $r$ 方向の速度 $v_r$ と $\theta$ 方向の速度 $v_\theta$ を求めよ。解答 $v_r,v_\theta$ を $v_x,v_y$ を用いて表すと、

$\begin{align*} v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\ v_\theta&=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta \end{align*}$ となる。ここで \begin{align*} \begin{cases} x=r\co ...

力学

2019/10/20

2次元平面の極座標表示における速度及び加速度を単位ベクトルを使って導出する

2次元平面の極座標表示における速度 $\vec{v}=(v_r, v_\theta)$ 及び加速度 $\vec{a}=(a_r, a_\theta)$ を単位ベクトルを使って導出する速度・加速度の極座標表示運動の軌道の種類によっては極座標で扱った方が理解しやすいことも多い。ここでは、2次元平面における極座標表示について単位ベクトルを用いて導出する。。 2次元平面の極座標図のように、位置ベクトル $\vec{r}$ と $x$ 軸とのなす角を $\theta$ とする。 2次元平面の極座標の速度位置ベクトル$\vec ...