2次元平面の極座標表示における速度及び加速度を単位ベクトルを使って導出する

2次元平面の極座標表示における速度$\vec{v}=(v_r, v_\theta)$及び加速度$\vec{a}=(a_r, a_\theta)$を単位ベクトルを使って導出する

速度・加速度の極座標表示

運動の軌道の種類によっては極座標で扱った方が理解しやすいことも多い。
ここでは、2次元平面における極座標表示について単位ベクトルを用いて導出する。。

2次元平面の極座標

図のように、位置ベクトル$\vec{r}$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする。

2次元平面の極座標の速度

位置ベクトル$\vec{r}$は極座標の単位ベクトルを用いて表すと

\begin{eqnarray*}
\vec{r} = r \vec{e}_r
\end{eqnarray*}

と表される。
従って、速度ベクトル$\vec{v}$は極座標の単位ベクトルを用いて表すと

\begin{eqnarray*}
\vec{v} = \frac{\diff \vec{r}}{\diff t} &=& \frac{\diff}{\diff t} ( r \vec{e}_r ) \\
\\
&=& \frac{\diff r}{dt} \vec{e}_r + r \frac{\diff \vec{e}_r}{\diff t}
\end{eqnarray*}

となる。

ここで、極座標の単位ベクトル$\vec{e}_r , \vec{e}_\theta$を$x,y$軸に分解すると下図より

\begin{eqnarray*}
\vec{e}_r =
\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta \\
\end{pmatrix}
\ \ \ \
\vec{e}_\theta =
\begin{pmatrix}
-\sin \theta \\
\cos \theta \\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}

であるから、

\begin{eqnarray*}
\frac{\diff}{\diff t}\left[ \vec{e}_r \right] &=&
\begin{bmatrix}
\frac{\diff}{\diff t} (\cos \theta) \\
\frac{\diff}{\diff t} (\sin \theta) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\sin \theta \frac{\diff \theta}{\diff t} \\
\cos \theta \frac{\diff \theta}{\diff t} \\
\end{bmatrix}
= \frac{\diff \theta}{\diff t}
\begin{pmatrix}
-\sin \theta \\
\cos \theta \\
\end{pmatrix}
= \frac{\diff \theta}{\diff t} \vec{e}_\theta
\\ \\
\frac{\diff}{\diff t}\left[ \vec{e}_\theta \right] &=&
\begin{bmatrix}
\frac{\diff}{\diff t} (-\sin \theta) \\
\frac{\diff}{\diff t} ( \cos \theta) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\cos \theta \frac{\diff \theta}{\diff t} \\
-\sin \theta \frac{\diff \theta}{\diff t} \\
\end{bmatrix}
= -\frac{\diff \theta}{\diff t}
\begin{pmatrix}
\cos \theta \\
\sin \theta \\
\end{pmatrix}
= -\frac{\diff \theta}{\diff t} \vec{e}_r
\end{eqnarray*}

となる。
従って、前式の速度$\vec{v}$は

\begin{eqnarray*}
\vec{v} &=& \frac{\diff r}{dt} \vec{e}_r + r \frac{\diff \vec{e}_r}{\diff t} \\
\\
&=& \frac{\diff r}{dt} \vec{e}_r + r \cdot \frac{\diff \theta}{dt} \vec{e}_\theta
\end{eqnarray*}

と表され、

\begin{eqnarray*}
v_r = \frac{\diff r}{dt} , \ v_\theta = r \frac{\diff \theta}{dt}
\end{eqnarray*}

となる。

2次元平面の極座標の加速度

さらに、加速度$\vec{a}$は

\begin{eqnarray*}
\vec{a} = \frac{\diff \vec{v}}{\diff t} &=& \frac{\diff}{\diff t} ( v_r \vec{e}_r + v_\theta \vec{e}_\theta ) \\
\\
&=& \frac{\diff v_r}{\diff t}\vec{e}_r + v_r \frac{\diff \vec{e}_r}{\diff t} + \frac{\diff v_\theta}{\diff t}\vec{e}_\theta + v_\theta \frac{\diff \vec{v}_\theta}{\diff t}\\
\\
&=& \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\diff r}{\diff t} \right) \vec{e}_r +
\frac{\diff r}{\diff t} \frac{\diff \theta}{\diff t} \vec{e}_\theta +
\frac{\diff}{\diff t} \left( r \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) \vec{e}_\theta +
r \frac{\diff \theta}{\diff t} \left( – \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) \vec{e}_r \\
\\
&=& \frac{\diff ^2 r}{\diff t^2} \vec{e}_r + \frac{\diff r}{\diff t} \frac{\diff \theta}{\diff t} \vec{e}_\theta +
\left[ \frac{\diff r}{\diff t} \frac{\diff \theta}{\diff t}
+ r \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) \right] \vec{e}_\theta
– r \left( \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) ^2 \vec{e}_r \\
\\
&=& \left[ \frac{\diff ^2 r}{\diff t^2} – r \left( \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) ^2\right] \vec{e}_r +
\left[ 2 \frac{\diff r}{\diff t} \frac{\diff \theta}{\diff t} + r \frac{\diff ^2 \theta}{\diff t^2} \right] \vec{e}_\theta
\\
\end{eqnarray*}

と表され、

\begin{eqnarray*}
a_r &=& \frac{\diff ^2 r}{\diff t^2} – r \left( \frac{\diff \theta}{\diff t} \right) ^2 \\
\\
a_\theta &=& 2 \frac{\diff r}{\diff t} \frac{\diff \theta}{\diff t} + r \frac{\diff ^2 \theta}{\diff t^2}
\end{eqnarray*}

となる。