自由落下運動

問題

質量$m$の物体を自由落下させる。
以下の問いに答えよ。
但し、重力加速度は$g$とする。

(1) この運動の運動方程式を記述せよ。

(2) この運動において力学的エネルギーが保存していることを運動方程式から導け。


解答

まずは作図をする。
上向きを正に軸を取ると

5a-1

物体に作用する力を書き込むと

5a-2

(1) 運動方程式は
\begin{align*}
ma&=-mg\\
m\frac{\diff v}{\diff t}&=-mg
\end{align*}
となる。

(2) 運動方程式の両辺を$x$で積分すると
\begin{align*}
m\frac{\diff v}{\diff t}&=-mg\\
\int m\frac{\diff v}{\diff t}\diff x&=-\int mg\diff x
\end{align*}
$\displaystyle v=\frac{\diff x}{\diff t}$より$\diff x=v\diff v$と表せるので
\begin{align*}
\int m\frac{\diff v}{\diff t}v\diff t&=-\int mg\diff x\\
\frac{1}{2}mv^2+C_1&=-mgx+C_2 \qquad(C_1, C_2 \mbox{:積分定数)}\\
\frac{1}{2}mv^2+mgx&=C
\end{align*}
従って、運動エネルギーと位置エネルギーの和が時間によらず
一定であるので力学的エネルギーは保存している。

ad

関連記事

等速円運動の加速度

問題 質点が原点を中心に半径$r$、角速度$\omega$の等速円運動を行っている。

記事を読む

2次元平面の極座標表示における速度及び加速度を単位ベクトルを使って導出する

2次元平面の極座標表示における速度$\vec{v}=(v_r, v_\theta)$及び加速度$\v

記事を読む

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。

記事を読む

単振動のエネルギー

問題 滑らかな水平面上にばねと物体が図のように設置されている。 物体の質量を$m$、ばね定数

記事を読む

極座標の加速度

問題 極座標の平面を考える。 加速度$\vec{a}$において$r$方向の加速度$a_r$と

記事を読む

2球の正面衝突

問題 2球の正面衝突を考える。 この衝突において運動量が保持することを運動方程式を用いて

記事を読む

接触した物体の運動

問題 滑らかな水平面上に2つの物体$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$が接触して

記事を読む

マクローリン展開の計算

問題 次の関数$f(x)$をマクローリン級数に展開せよ。 (1) $f(x)=\sin

記事を読む

斜面を滑り下りる運動

問題 水平面をなす角$\theta$の粗い斜面上の点$\mathrm{A}$から物体を初速$v

記事を読む

単振動の微分方程式

問題 単振動の微分方程式 \begin{align*} m\frac{\diff^2 x}

記事を読む

ad

Message

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください

ad

ガンマ関数

問題 ガンマ関数$\Gamma (z)$は \begin{eq

偏微分の関係式の導出

問題 以下の関係式を導出せよ。 (1) $\display

球の表面に一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な面密度$\sigma$で球表面に帯電した半径$R$の

一様に帯電した球が作る電場

問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。

無限に長い直線に分布する電荷が作る電場

問題 単位長さあたりの電気量(線密度)が$\rho$である無限に

→もっと見る

PAGE TOP ↑