極座標の速度
問題
極座標の平面を考える。
速度$\vec{v}$において$r$方向の速度$v_r$と$\theta$方向の速度$v_\theta$を求めよ。
解答
$v_r,v_\theta$を$v_x,v_y$を用いて表すと、
\begin{align*}
v_r&=v_x\cos\theta+v_y\sin\theta\\
v_\theta&=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta
\end{align*}
となる。
ここで
\begin{align*}
\begin{cases}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta
\end{cases}
\end{align*}
であるので
\begin{align*}
v_x=\frac{\diff x}{\diff t}=\frac{\diff}{\diff t}(r\cos\theta)&=\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta+r\frac{\diff}{\diff t}(\cos\theta)\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta+r(-\sin\theta)\frac{\diff \theta}{\diff t}\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta-r\sin\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\\
v_y=\frac{\diff y}{\diff t}=\frac{\diff}{\diff t}(r\sin\theta)&=\frac{\diff r}{\diff t}\sin\theta+r\frac{\diff}{\diff t}(\sin\theta)\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}\sin\theta+r\cos\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}
\end{align*}
これらを$v_r,v_\theta$の式に代入すると、
\begin{align*}
v_r&=\left(\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta-r\sin\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)\cos\theta+\left(\frac{\diff r}{\diff t}\sin\theta+r\cos\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)\sin\theta\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}\cos^2\theta-r\cos\theta\sin\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}+\frac{\diff r}{\diff t}\sin^2\theta+r\cos\theta\sin\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\\
&=\frac{\diff r}{\diff t}\\
v_\theta&=-\left(\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta-r\sin\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)\sin\theta+\left(\frac{\diff r}{\diff t}\sin\theta+r\cos\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\right)\cos\theta\\
&=-\frac{\diff r}{\diff t}\cos\theta\sin\theta-r\sin^2\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}+\frac{\diff r}{\diff t}\sin\theta\cos\theta+r\cos^2\theta\frac{\diff\theta}{\diff t}\\
&=r\frac{\diff\theta}{\diff t}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\
&=r\frac{\diff\theta}{\diff t}
\end{align*}
となる。
ad
関連記事
-
外力が$F(t)$が作用する運動
問題 質量$m$の質点に外力$F(t)$を加え、質点を運動させた。 質点の任意の時刻$t$に
-
単振動の変位、速度、加速度
問題 なめらかな水平面上に壁からばねが取り付けれられている。 ばねは自然長の状態で静止してい
-
2次元平面の極座標表示における速度及び加速度を単位ベクトルを使って導出する
2次元平面の極座標表示における速度$\vec{v}=(v_r, v_\theta)$及び加速度$\v
-
単振動の変位と速度、加速度の関係
問題 単振動の変位 $y(t)$ が \begin{eqnarray*} y(t) =
-
一様に帯電した球が作る電場
問題 一様な電荷密度$\rho$で帯電した半径$R$の球がある。以下の問いに答えよ。
ad
- PREV
- 等速円運動の位置、速度、加速度
- NEXT
- 極座標の加速度