2球の正面衝突

問題

2球の正面衝突を考える。
この衝突において運動量が保持することを運動方程式を用いて示せ。

解答

2球が衝突した瞬間は逆向きの同じ大きさの力が働くので
図に表すと

となる。
従って、A,Bそれぞれの運動方程式は
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{\diff p_\mathrm{A}}{\diff t}&=-F\\[2ex]
\dfrac{\diff p_\mathrm{B}}{\diff t}&=F
\end{cases}
\end{align*}
と表すことができる。
2つの式の和をとると、
\begin{align*}
\frac{\diff p_\mathrm{A}}{\diff t}+\frac{\diff p_\mathrm{B}}{\diff t}&=-F+F\\
\frac{\diff}{\diff t}\Big(p_\mathrm{A}+p_\mathrm{B}\Big)&=0
\end{align*}
よって運動量が時間的に変化しないので運動量は保存している。