加速度から速度、変位を求める

問題

$x$軸を運動する質点の加速度が
\begin{align*}
a(t)=a_0+a_1t
\end{align*}
で変化している。
$t=0$での速度が$v(0)$であり、位置$x_0$にあったとする。

(1) $t$における質点の速度$v(t)$を求めよ。

(2) $t$における質点の位置$x(t)$を求めよ。

但し、$a_0$, $a_1$は定数であるとする。

解答

(1) 加速度の定義
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}=a(t)
\end{align*}
より
\begin{align*}
\frac{\diff v}{\diff t}=a_0+a_1t
\end{align*}
$t$で積分すると
\begin{align*}
v=a_0t+\frac{1}{2}a_1t^2+C_1 \qquad (C_1 \mbox{ ：積分定数)}
\end{align*}
初期条件$v(0)=v_0$より
\begin{align*}
v(0)=a_0\cdot0+\frac{1}{2}a_1\cdot0^2+C_1&=v_0\\
C_1&=v_0
\end{align*}
よって
\begin{align*}
v(t)=v_0+a_0t+\frac{1}{2}a_1t^2
\end{align*}
となる。

(2) 速度の定義
\begin{align*}
m\frac{\diff x}{\diff t}=v(t)
\end{align*}
より、
\begin{align*}
\frac{\diff x}{\diff t}=v_0+a_0t+\frac{1}{2}a_1t^2
\end{align*}
$t$で積分すると
\begin{align*}
x&=v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2+\frac{1}{2}a_1\cdot\frac{1}{3}t^3+C_2 \qquad (C_2 \mbox{：積分定数)}\\
&=v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2+\frac{1}{6}a_1t^3+C_2
\end{align*}
初期条件$x(0)=x_0$より
\begin{align*}
x(0)=v_0\cdot0+\frac{1}{2}a_0\cdot0^2+\frac{1}{6}a_1 \cdot0^3+C_2 &=x_0 \\
C_2&=x_0
\end{align*}
よって
\begin{align*}
x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2+\frac{1}{6}a_1t^3
\end{align*}
となる。